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\newtheorem{prop}{Proposizione}[section]
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\newtheorem{lem}{Lemma}[section]
\renewcommand*{\proofname}{Dimostrazione}

\begin{document}

\title{Appunti di Bazzoni}
\author{danivolo}
\date{}

\maketitle
\tableofcontents

\section{Varietà differenziali}

\subsection{Spazi}
\begin{deff}
	$r_{i}$ è la $i$-esima funzione coordinata di $\mathbb{R}^{d}$ con una
	base, e $f_{i} := r_{i}\circ f$ è la $i$-esima componente di $f$.
\end{deff}

\begin{deff}
	Ogni punto di uno spazio localmente euclideo di dimensione $d$ ha un
	intorno omeomorfo ad un'aperto dello spazio euclideo.
\end{deff}

\begin{deff}
	Una mappa coordinata è un omeomorfismo di un suo aperto connesso su un
	aperto di $\mathbb{R}^{d}$, le sue componenti si dicono funzioni
	coordinate e $(U,\varphi)$ è una carta locale. Il suo centro corrisponde
	all'origine.
\end{deff}

\begin{prop}
	La dimensione non dipende dalla carta locale.
\end{prop}

\begin{proof}
	Supponendo che lo spazio abbia carte locali che vanno in
	$\mathbb{R}^{d_{1}}>\mathbb{R}^{d_{2}}$, trasportiamo una bolla aperta
	da $\mathbb{R}^{d_{1}}$ a $\mathbb{R}^{d_{2}}$ e poi risvoltiamola con
	$x\mapsto x/(r-|x|)$. Questo dà una mappa continua e iniettiva da un
	aperto di $\mathbb{R}^{d_{2}}$ in $\mathbb{R}^{d_{1}}$. Questo
	contraddice il
\end{proof}

\begin{teo}[Invarianza del dominio]
	Una mappa continua e iniettiva $f: \mathbb{R}^{d}\supset U \rightarrow
	\mathbb{R}^{d}$ è aperta e omeomorfismo.
\end{teo}

\begin{cor}
	Gli aperti di dimensione minore di $n$ non sono omeomorfi ad
	$\mathbb{R}^{n}$.
\end{cor}

\begin{proof}
	Mettiamo di tornare indietro iniettivamente all'aperto. Componendo con
	l'immersione ``piatta" avremmo una mappa continua e (per assurdo)
	iniettiva la cui immagine è chiusa se la guardi di lato, assurdo.
\end{proof}

\begin{deff}
	Un atlante $C^{k}$ su uno spazio localmente euclideo è una collezione
	massimale di carte locali compatibili che lo ricoprono. Compatibili
	vuol dire che $\varphi_{\alpha}\circ \varphi_{\beta}^{-1}$ è $C^{k}$ come
	funzione tra spazi vettoriali.
\end{deff}

\begin{prop}
	Ogni ``atlante non massimale" genera unicamente un ``atlante vero".
\end{prop}

\begin{proof}
	Aggiungendo tutte le carte locali compatibili che non erano già dentro
	la collezione continua a ricoprire lo spazio e, appunto, ad essere
	internamente compatibile.
\end{proof}

\begin{deff}
	Uno spazio secondo numerabile ha una base numerabile. (Una base genera
	la topologia per unioni)
\end{deff}

\begin{deff}
	Una varietà differenziale è uno spazio localmente euclideo secondo
	numerabile con un atlante.
\end{deff}

\begin{ex}
	\
	\begin{itemize}

\item	Lo spazio euclideo con l'atlante generato dall'identità.

\item	Uno spazio vettoriale (o affine) con ``carta globale" che ha come
	coordinate la base duale.

\item	$\mathbb{C}^{n}$ visto come spazio euclideo $2n$-dimensionale.

\item	La sfera unitaria con l'atlante generato dalle proiezioni
	stereografiche ai poli.

\item	Un aperto di una varietà differenziale con le carte locali ristrette.

\item	$\GL$ come preimmagine di $\dett$.

\item	Il prodotto di varietà con le carte prodotto.

\item	Le superfici regolari, cioè connessi di $\mathbb{R}^{3}$ di cui ogni
	punto viene coperto da un aperto di $\mathbb{R}^{2}$ mappato
	omeomorficamente sulla sua immagine con una mappa regolare. La carta
	locale sarebbe l'inversa di questa mappa.
	\end{itemize}
\end{ex}

\subsection{Mappe}
\begin{deff}
	Per decidere se una funzione è $C^{\infty}$ la portiamo indietro a una
	funzione sulla carta locale. Per decidere se una mappa è $C^{\infty}$
	la portiamo avanti a $\mathbb{R}$.
\end{deff}

\begin{deff}
	Un diffeomorfismo è una mappa $C^{\infty}$ con inversa $C^{\infty}$.
\end{deff}

\begin{ex}
	Questa definizione rende le carte locali diffeomorfismi.
\end{ex}

\begin{deff}
	Un diffeomorfismo locale da ad ogni punto un intorno diffeomorfo a un
	intorno della sua immagine.
\end{deff}

\begin{ex}
	La mappa esponenziale $\exp: \mathbb{R}\rightarrow S^{1}$ è un
	diffeomorfismo locale.
\end{ex}

\begin{teo}[Classificazione delle varietà in alcune dimensioni]
	\
	\begin{itemize}
		\item Dimensione 1: le varietà compatte sono omeomorfe alla
			sfera, quelle non compatte alla retta.
		\item Dimensione 2: le varietà compatte orientate sono
			omeomorfe a sfere con manici, ma anche diffeomorfe,
			dato che ogni varietà topologica di dimensione $\leq 3$
			ammette struttura differenziabile unica salvo
			diffeomorfismi.
		\item Dimensione 3: le varietà topologiche compatte e
			semplicemente connesse sono omeomorfe alla sfera.
		\item Dimensione 4: lo spazio euclideo ammette una quantità non
			numerabile di strutture differenziabili a due a due non
			diffeomorfe.
		\item In generale esistono molte sfere esotiche.
	\end{itemize}
\end{teo}

\subsection{Gruppi discreti}
\begin{lem}
	Con la topologia quoziente la proiezione $\pi:
	\mathbb{R}^{n+1}-\{0\}\rightarrow \mathbb{R}P^{n}$ non è solo continua ma
	anche aperta.
\end{lem}

\begin{proof}
	Nella topologia quoziente $\pi(U)$ è aperto se proviene da un aperto.
	Ma lui proviene da tutti i punti equivalenti a un punto di $U$, cioè i
	multipli di punti di $U$, quindi

	\[ \pi^{-1}(\pi(U)) = \bigcup_{t} tU \]

	che è unione di aperti quindi aperta.
\end{proof}

\begin{prop}
	Lo spazio proiettivo è una varietà differenziale di dimensione $n$.
\end{prop}

\begin{proof}
	L'aperto ottenuto togliendo a $\mathbb{R}^{n+1}$ l'iperpiano $x_{i}$ =
	0 è saturato, cioè non ci sono altri punti equivalenti ai suoi punti,
	quindi $\pi$ è ancora una mappa quoziente. La carta locale manda una
	retta nella sua intersezione con l'iperpiano $x_{i} = 1$. \`E continua
	con inversa continua, e due carte così sono compatibili
	sull'intersezione dei domini.

	Per mostrare che lo spazio è Hausdorff, dato che la proiezione è aperta
	basta far vedere che il grafo della relazione di equivalenza è chiuso.
	Questo grafo è costituito dalle matrici $2 \times (n+1)$ di rango 1,
	che è una condizione chiusa.

	Lo spazio è secondo numerabile perché la proiezione è aperta e quindi
	manda basi in basi.
\end{proof}

\begin{deff}
	Un'azione sinistra è un'azione per cui $\vartheta_{\gamma_{1}}\circ
	\vartheta_{\gamma_{2}} = \vartheta_{\gamma_{1}\gamma_{2}}$
\end{deff}

\begin{ex}
	$S^{n}$, $\mathbb{Z}^{n}$, $\GL(n)$, $\mathbb{R}^{*}$, $S^{1}$.
\end{ex}

\begin{deff}
	Lo stabilizzatore di un punto è il sottogruppo che lo lascia lì.
\end{deff}

\begin{deff}
	Un gruppo discreto ha cardinalità numerabile e topologia discreta,
	generata dai singoletti.
\end{deff}

\begin{deff}
	Un'azione è $C^{\infty}$ se le trasformazioni sono diffeomorfismi.
\end{deff}

\begin{ex}
	$\mathbb{Z}_{n}$ è discreto e la sua azione per traslazioni è
	$C^{\infty}$.
\end{ex}

\begin{ex}
	$\mathbb{Z}_{2}$ è discreto e l'azione antipodale sulle sfere è
	$C^{\infty}$.
\end{ex}

\begin{lem}
	La proiezione sullo spazio delle orbite di un gruppo discreto è aperta.
\end{lem}

\begin{proof}
	Come con lo spazio proiettivo.
\end{proof}

\begin{cor}
	Lo spazio delle orbite è secondo numerabile.
\end{cor}

\begin{deff}
	Un'azione è propria se è $C^{\infty}$, lo spazio delle orbite è
	Hausdorff e ogni punto ha un intorno per cui $\{\gamma\,|\,\gamma U
	\cap U \neq \varnothing\}$ è finito.

	L'ultima condizione è equivalente a dire che ogni punto ha un intorno
	che viene stabilizzato dallo stabilizzatore del punto e spedito nel
	Burundi dal resto del gruppo.
\end{deff}

\begin{proof}
	Per vedere che la prima formulazione implica la seconda, prendiamo sto
	intorno per cui quell'insieme lì $A$ è finito. Lo stabilizzatore del
	punto sta in $A$ quindi è ancora finito. Ora l'idea è di restringere
	l'intorno per fare in modo che gli elementi rimanenti lo spediscano nel
	Burundi. Basta farlo per ciascun elemento singolarmente e poi prendere
	l'intersezione, che è finita e quindi dà ancora un aperto.

	Dato che lo spazio delle orbite è di Hausdorff separo $x$ e
	$\beta_{i}x$ con aperti. Per continuità posso restringere l'intorno di
	$x$ a uno che venga confortevolmente mappato in quello di $\beta_{i}$.
\end{proof}

\begin{teo}
	Lo spazio delle orbite dell'azione libera e propria di un gruppo
	discreto su una varietà ha un'unica struttura differenziabile tale che
	ogni punto ha un intorno connesso con preimmagine decomponibile in sue
	copie.
\end{teo}

\begin{proof}
	Manca dimostrare che lo spazio delle orbite è localmente euclideo e
	costruire un atlante.

	Dato che l'azione oltre che essere propria è libera ogni punto ha un
	intorno $\gamma U\cap U = \varnothing $ che restringendo possiamo
	supporre connesso e dominio di una carta locale. Questo assicura che la
	proiezione ristrettavi sia iniettiva e quindi omeomorfismo. Otteniamo
	una carta locale per il quoziente a partire da una per la varietà
	componendo con $\pi^{-1}$.

	Per far vedere che queste carte sono compatibili. Due carte con una
	parte di dominio comune provengono da carte con domini che, a meno di
	un'azione, si intersecano, quindi $\varphi \circ
	\psi^{-1}=\Phi\circ\pi^{-1}\circ\pi(\circ\gamma)\circ\Psi^{-1} =
	\Phi(\circ\gamma)\circ\Psi^{-1}$ è composizione di mappe $C^{\infty}$.

	Con questa struttura differenziabile la proiezione ristretta a uno di
	questi intorni connessi è un diffeomorfismo, e quindi nessun'altra
	struttura differenziabile è possibile.
\end{proof}

\begin{ex}
	L'azione di $\mathbb{Z}^{n}$ per traslazioni è libera è propria, con
	quoziente il toro.
\end{ex}

\begin{ex}
	L'azione antipodale di $\mathbb{Z}_{2}$ sulla sfera è libera e propria,
	e il quoziente è uno spazio proiettivo.
\end{ex}

\begin{ex}
	$\mathbb{Z}_{2}$ è l'unico gruppo che agisce liberamente su una sfera
	di dimensione pari. Per sfere dispari invece ci sono gli spazi
	lenticolari, per esempio $\mathbb{C}^{2}\supset S^{3}/Z_{m}\subset
	S^{1}$
\end{ex}

\begin{ex}
	Il quoziente del gruppo di Heisenberg continuo per quello discreto,
	\emph{aka} varietà di Heisenberg.
\end{ex}

\begin{nota}
	Addolcendo i requisiti sull'azione può capitare che lo spazio delle
	orbite ammetta una struttura di varietà che non ha niente a che fare
	con lo spazio originale, per esempio il cono $\mathbb{C}/Z_{m}\subset
	S^{1}$ dove l'azione è propria ma non libera.
\end{nota}

\subsection{Partizioni dell'unità}

\begin{deff}
	Uno spazio di Hausdorff è localmente compatto se ogni intorno di ogni
	punto ha un sottointorno compatto.
\end{deff}

\begin{deff}
	Uno spazio è regolare se i punti sono chiusi e i chiusi posso separarli.
\end{deff}

\begin{teo}[di metrizzabilità di Urysohn]
	In uno spazio in cui i punti sono chiusi sono equivalenti
	\begin{itemize}
		\item Regolare e secondo numerabile (n.b.$\implies$separabile)
		\item Separabile e metrizzabile (n.b.$\implies$regolare)
	\end{itemize}
\end{teo}

\begin{deff}
	Un sottoricoprimento di un ricoprimento è una sottocollezione, mentre
	un raffinamento è un rimpicciolimento di ciascuna pezza.
\end{deff}

\begin{deff}
	Una collezione di sottoinsiemi è localmente finita se ogni punto ha un
	intorno che ne interseca solo un numero finito.
\end{deff}

\begin{deff}
	Uno spazio è paracompatto se ogni ricoprimento aperto possiede un
	raffinamento aperto localmente finito.
\end{deff}

\begin{lem}
	Ogni spazio di Hausdorff localmente compatto e secondo numerabile è
	paracompatto. Inoltre ogni ricoprimento aperto possiede un raffinamento
	numerabile e localmente finito di aperti a chiusura compatta.
\end{lem}

\begin{proof}
	Costruiamo un'esaustione, ovvero un ricoprimento fatto di una
	successione di aperti a chiusura compatta tali tali che
	$\overline{G_{i}}\subset G_{i+1}$:

	La compattezza locale assicura che togliendo a una base gli aperti a
	chiusura non compatta continuo ad avere una base. Costruiamo
	l'esaustione a partire da questa base di aperti a chiusura compatta.

	\begin{itemize}
		\item $G_{1} = U_{1}$
		\item Se ho $G_{k}$ unione dei primi $j_{k}$ aperti, continuo
			ad aggiungere aperti finché non ricopro la sua chiusura
			e definisco così $G_{k+1}$.
	\end{itemize}

	Ora prendo $\overline{G_{i-2}}\subset G_{i-1}\subset
	\overline{G_{i}}\subset G_{i+1}$. Le differenze interne sono compatte
	(???) e sono contenute nelle rispettive differenze esterne, che sono
	aperte. Se per $i\geq3$ interseco un qualsiasi ricoprimento con le
	differenze esterne ho un ricoprimento aperto delle differenze interne,
	e se interseco con $G_{3}$ uno di $\overline{G_{2}}$. Un
	sottoricoprimento finito di questo ricoprimento è numerabile, raffina
	quello di partenza ed è fatto di aperti a chiusura compatta.
\end{proof}

\begin{cor}
	Una varietà differenziale è paracompatta.
\end{cor}

\begin{deff}
	Una partizione dell'unità è una collezione di funzioni $C^{\infty}$ non
	negative a supporto localmente finito che partizionano l'unità.
\end{deff}

\begin{lem}
	Esiste una funzione non negativa che vale 1 in $[-1,1]^{d}$ e si
	annulla prima di uscire da $(-2,2)^{d}$.
\end{lem}

\begin{proof}
	La costruiamo in una dimensione e poi basta fare il prodotto della
	funzione applicata a diverse coordinate.

	Partendo dalla funci\'on meseta

	\begin{align*}
		f(t) &=
		\begin{cases}
			e^{-1/t} & t>0 \\
			0 & t \leq 0
		\end{cases} \\
		g(t) &= \frac{f(t)}{f(t)+f(1-t)} \\
		h(t) &= g(t+2)g(2-t)
	\end{align*}

	abbiamo prima una funzione $C^{\infty}$ non negativa, poi una che
	transiziona tra 0 e 1, poi quella giusta.
\end{proof}

\begin{teo}[Esistenza di partizioni dell'unità]
	\

	Good ending: data una varietà differenziale e un ricoprimento aperto
	esiste una partizione dell'unità numerabile subordinata al ricoprimento
	fatta di funzioni a supporto compatto.

	Bad ending: se non richiedi la compattezza del supporto, esiste
	partizione dell'unità subordinata al ricoprimento con lo stesso indice
	con al più un insieme numerabile di funzioni non identicamente nulle.
\end{teo}

\begin{proof}
	Usiamo ancora l'esaustione di prima aggiungendo $G_{0} = \varnothing$.

	Scelto un punto prendiamo il $G_{i_{x}}$ più grande la cui chiusura non
	lo contiene e un $U_{\alpha_{x}}$ che lo contiene. Prendiamo poi una
	carta locale centrata in $x$ che sta sia in $U_{\alpha_{x}}$ che in
	$G_{i_{x}+2}-\overline{G_{i_{x}}}$ e che mappa a coprire l'ipercubo di
	lato 4. Consideriamo la funzione che è uguale alla $\varphi$ del lemma
	sulla carta e 0 altrove. Questa funzione vale 1 in un intorno $W_{x}$
	di $x$ e ha supporto compatto contenuto nella carta.

	Dato che $\overline{G_{i}} - G_{i-1}$ è compatto, scegliamo per ogni
	$i$ un insieme finito di punti che lo ricoprono coi loro $W_{x}$.

	Questo dà una collezione numerabile di funzioni $\psi_{x}$. Il fatto
	che i supporti siano localmente finiti permette di sommare queste
	funzioni. La partizione dell'unità è fatta delle funzioni normalizzate
	alla loro somma.

	Bad ending: per ogni $U_{\alpha}$ sommiamo tutte le funzioni che hanno
	ivi supporto (eventualmente 0).
\end{proof}

\begin{cor}
	Su una varietà differenziale posso sempre avere una funzione
	caratteristica $C^{\infty}$ di un chiuso che si spegne prima di uscire
	da un suo intorno aperto.
\end{cor}

\begin{proof}
	Me la dà una partizione dell'unità subordinata al ricoprimento formato
	dall'aperto e dal complemento del chiuso.
\end{proof}

\begin{cor}
	Su una varietà differenziale si possono separare i chiusi con funzioni
	$C^{\infty}$.
\end{cor}

\subsection{Derivate}

\begin{deff}
	Due funzioni definiscono lo stesso germe se coincidono su un intorno.
\end{deff}

\begin{deff}
	Un vettore tangente in un punto è una derivazione lineare della sua
	algebra dei germi.
\end{deff}

\begin{lem}
	Lo spazio tangente ad un punto è il duale dello spazio delle funzioni
	con zeri semplici.
\end{lem}

\begin{proof}
	Dato un funzionale lineare su $\mathfrak{m}_{p}/\mathfrak{m}_{p}^{2}$
	possiamo estenderlo a vettore tangente per simmetria traslazionale. Per
	far vedere la regola di Leibniz si scompone $\mathbf{f}\mathbf{g} =
	(\mathbf{f}-\mathbf{f}(p))(\mathbf{g}-\mathbf{g}(p)) +
	\mathbf{f}\mathbf{g}(p)+\mathbf{g}\mathbf{f}(p) + \mathbf{f}(p)
	\mathbf{g}(p)$. Il primo termine ha uno zero del secondo ordine e
	l'ultimo è una costante.
\end{proof}

\begin{lem}
	Su un aperto convesso di $\mathbb{R}^{d}$ posso sviluppare una funzione in serie di Taylor con resto integrale così:
	\begin{align*}
		g(q) = g(p) &+ \frac{\partial g}{\partial
		r_{i}}\Big|_{p}(r_{i}(q)-r_{i}(p)) \\
		&+(r_{i}(q)-r_{i}(p))(r_{j}(q)-r_{j}(p))\int_{0}^{1} dt (1-t)
		\frac{\partial^{2} g}{\partial r_{i}\partial
		r_{j}}\Big|_{p+t(q-p)}
	\end{align*}

	e dato che l'integrale è una funzione $C^{\infty}$ l'ultimo termine ha uno zero del secondo ordine.
\end{lem}

\begin{teo}
	Lo spazio delle funzioni con zeri semplici ha la stessa dimensione della varietà.
\end{teo}

\begin{proof}
	Dato che il termine di secondo ordine sparisce modulo
	$\mathfrak{m}_{p}^{2}$ abbiamo

	\[ \mathbf{f} = \frac{\partial(f\circ
	\varphi^{-1})}{\partial r_{i}}\Big|_{\varphi(p)}(\mathbf{x}_{i}-\mathbf{x}_{i}(p)) \]
	e quindi le funzioni coordinate, appositamente traslate, sono un
	sistema di generatori per le funzioni a zeri semplici.

	Per vedere l'indipendenza una combinazione $a_{i}\mathbf{x}_{i}\in
	\mathfrak{m}_{p}^{2}$ ne induce una in una carta locale
	$a_{i}\mathbf{r}_{i}(\varphi(p)) \in \mathfrak{m}_{\varphi(p)}^{2}$. In
	$\mathbb{R}^{d}$ però la sgamiamo subito, perché posso estrarre i
	coefficienti con le derivate parziali, che sono tutte nulle dato che
	dovrebbe essere uno zero di ordine 2.
\end{proof}

\begin{prop}
	Una base dello spazio tangente, duale a quella sopra, è costituita
	dalle derivate parziali:

	\[ \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\Big|_{p} = \frac{\partial (f \circ
	\varphi^{-1})}{\partial r_{i}}\Big|_{\varphi(p)}\]

	e abbiamo

	\[ v = v(x_{i})\frac{\partial}{\partial x_{i}}\Big|_{p} \]

\end{prop}

\begin{deff}
	Il differenziale di una mappa in un punto è \begin{align*} d\psi_{p}:
	T_{p}M &\rightarrow T_{\psi(p)}M \\ d\psi_{p}(v)(g) &= v(g\circ\varphi)
	\end{align*} Trasporta i vettori tangenti nell'unico modo possibile:
	precompone una funzione con la mappa.

	La mappa duale è \begin{align*} (d\psi_{p})^{*}: T_{\psi(p)}^{*}M
	&\rightarrow T_{p}^{*}M \\ (d\psi_{p})^{*}(\omega)(v) &=
	\omega(d\psi_{p}(v)) \end{align*}

	Nel caso particolare di una funzione:

	\[ df_{p}(v) = v(f)\frac{d}{dr}\Big|_{r_{0}} \] Il gradiente di una
	funzione è un covettore, infatti se parliamo di $df_{p}$ stiamo
	considerando $(df_{p})^{*}(\omega)$
\end{deff}

\begin{nota}
	Scrivere il gradiente in carte locali mi dà la jacobiana:

	\[ d\psi_{p}\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\Big|_{p}=
	\frac{\partial (y_{i}\circ \psi)}{\partial x_{j}} \Big|_{p}
	\frac{\partial}{\partial x_{j}}\Big|_{\psi(p)} \]

	Per una funzione scalare abbiamo il classico \[ df_{p} = \frac{\partial
	f}{\partial x_{i}}\Big|_{p} dx_{i}|_{p} \]
\end{nota}

\begin{nota}
	Vale la regola della catena $d(\varphi\circ\psi)_{p} =
	d\varphi_{\psi(p)}\circ\psi_{p}$.

	Per una mappa seguita da una funzione scalare \[ d(f\circ\psi)_{p}(v) =
	df_{\psi(p)}(d\psi_{p}(v)) = (d\psi_{p})^{*}(df_{\psi(p)})(v) \] così
	che un cambio di coordinate porta indietro il gradiente.
\end{nota}

\begin{nota}
	Quando la mappa è la parametrizzazione di una curva si chiama vettore
	tangente il vettore tangente a $\mathbb{R}$ trasportato dal
	differenziale:

	\[ \sigma'(t) = d\sigma_{t} \left( \frac{d}{dr}\Big|_{t} \right) \in
	T_{\sigma(t)}M\] Ogni vettore tangente è il vettore tangente a una
	famiglia di curve.
\end{nota}

\begin{teo}
	Su una varietà connessa, una mappa con differenziale nullo ovunque è costante.
\end{teo}

\begin{proof}
	L'annullarsi della jacobiana su un aperto mostra che su di esso le componenti della mappa in una carta locale sono costanti, e quindi un intero aperto viene mappato ad un punto. La preimmagine di questo punto è sia aperta che chiusa, quindi è lo spazio intero.
\end{proof}

\begin{deff}
	I fibrati tangenti e cotangenti sono le unioni di tutti gli spazi tangenti e cotangenti.

	Per ottenere carte locali a partire da una carta sulla varietà, dobbiamo estrarre le coordinate di vettori o covettori in modo coerente con la carta.
	\begin{itemize}
		\item Ai vettori applichiamo i differenziali delle coordinate
		\item I covettori li valutiamo sui vettori coordinati.
	\end{itemize}

	I fibrati portano naturalmente una topologia indotta dalla proiezione e possono essere resi varietà generando atlanti a partire da atlanti della varietà di partenza.
\end{deff}

\begin{deff}
	Possiamo mettere insieme una mappa e il suo differenziale per indurre una mappa tra fibrati tangenti, la mappa tangente.
\end{deff}

\subsection{Sottovarietà}

\begin{deff}
	Un inclusione $\psi$ si dice:
	\begin{itemize}
		\item immersione se ha differenziale iniettivo in ogni punto
			(non si ferma)
		\item  sottovarietà se è un immersione iniettiva
		\item embedding se è una sottovarietà omeomorfa alla sua
			immagine, dotata della topologia relativa. Parliamo di
			sottovarietà regolare.
	\end{itemize}
\end{deff}

\begin{ex}
	Una $\gamma$ è immersione, un uncino è un'immersione iniettiva, una
	retta è una sottovarietà regolare.
\end{ex}

\begin{teo}[della funzione inversa]
	Se il differenziale di una mappa è isomorfismo in un punto allora è un
	diffeomorfismo locale.
\end{teo}

\begin{proof}
	Il teorema lo diamo per buono in $\mathbb{R}^{d}$ e le carte locali
	sono diffeomorfismi locali.
\end{proof}

\begin{deff}
	Una collezione di funzioni è un insieme indipendente se i differenziali
	sono linearmente indipendenti.
\end{deff}

\begin{cor}
	Ogni insieme indipendente in un punto, della dimensione della varietà,
	dà un sistema di coordinate in un suo intorno.
\end{cor}

\begin{proof}
	La mappa che ha come componenti l'insieme indipendente è $C^{\infty}$ e
	il duale del suo differenziale è un isomorfismo per indipendenza, quindi lo è
	anche il differenziale, e il teorema della funzione inversa garantisce
	che questa è una carta locale.
\end{proof}

\begin{cor}
	Ogni insieme indipendente in un punto può essere completato a un
	sistema di coordinate locali.
\end{cor}

\begin{proof}
	Aggiungi differenziali di coordinate locali, completa a una base e usa
	il corollario precedente.
\end{proof}

\begin{cor}
	Le componenti di una sommersione si possono completare a sistema di
	coordinate locali.
\end{cor}

\begin{proof}
	Se il differenziale è suriettivo il suo duale è iniettivo, e allora si
	vede per la regola della catena che i differenziali delle componenti
	della sommersione sono un sistema indipendente mandato in un sistema
	indipendente, così che si usa il corollario precedente.
\end{proof}

\begin{cor}
	Da un insieme di funzioni i cui differenziali generano lo spazio
	cotangente ad un punto si può estrarre un sistema di coordinate locali.
\end{cor}

\begin{proof}
	Basta scegliere un sottoinsieme dei differenziali che forma una base, e
	si usa il primo corollario.
\end{proof}

\begin{cor}
	Dalle componenti di un'immersione si può estrarre un sistema di
	coordinate.
\end{cor}

\begin{proof}
	Se il differenziale è iniettivo, il suo duale è suriettivo e quindi i
	differenziali delle componenti generano lo spazio cotangente e si usa
	il corollario precedente.
\end{proof}

\begin{teo}
	Una mappa che finisce in una sottovarietà si può tirare indietro a una
	mappa definita sullo spazio che la parametrizza. La funzione indotta è
	continua se la sottovarietà è regolare, e se questo succede è anche
	$C^{\infty}$.
\end{teo}

\begin{deff}
	Una fetta di una carta locale è un sottoinsieme del dominio di una
	carta locale che è insieme di livello di un certo numero di coordinate.
\end{deff}

\begin{teo}
	Ogni punto di un'immersione ha un intorno che è fetta di una carta
	locale cubica centrata nella sua immagine.
\end{teo}

\begin{proof}
	Usando l'ultimo corollario estraiamo un sistema di coordinate da un
	sottoinsieme di componenti dell'immersione. Rinumeriamo in modo che
	siano le prime $\dim M$, così che abbiamo un sistema di coordinate
	locali per il punto dopo aver proiettato.

	Togliamo alle ultime componenti le loro componenti sulle prime. Le
	prime le lasciamo invariate. La matrice del cambio di base dei
	differenziali è triangolare superiore quindi invertibile, e abbiamo
	ancora un sistema di coordinate.
\end{proof}

\begin{prop}
	Se un sottospazio ammette una struttura differenziabile che lo rende
	sottovarietà con la topologia del sottospazio, allora questa struttura
	è unica (a prescindere dalla topologia).
\end{prop}

\begin{deff}
	Un punto è regolare (critico) se la mappa (non) è una sommersione in
	quel punto. Un valore è regolare (critico) se tutte le sue preimmagini
	sono regolari (critiche).
\end{deff}

\begin{teo}[della funzione implicita]
	Le preimmagini di valori regolari sono sottovarietà regolari.
\end{teo}

\begin{proof}
	Basta dimostrarlo nella topologia relativa: completiamo le componenti
	della sommersione a sistema di coordinate locali centrato nel valore, e
	intersechiamo l'intorno con la preimmagine per ottenere chiaramente una
	fetta.
\end{proof}

\begin{cor}
	Lo spazio tangente alla preimmagine è il nucleo del differenziale della
	sommersione.
\end{cor}

\begin{proof}
	Dato che $\psi \circ \iota$ è costante su $P\cap U$ abbiamo che
	$d\psi_{m}\circ d\iota_{m}=0$ e quindi il nucleo del differenziale
	della sommersione contiene lo spazio tangente, ma hanno la stessa
	dimensione per nullità + rango.
\end{proof}

\begin{ex}
	La sfera è un insieme di livello della norma. La norma è una
	sommersione in $\mathbb{R}$ perché il suo differenziale è
	$2r_{i}dr_{i}$, che non è mai nullo. Questo dimostra che la sfera è una
	sottovarietà regolare e che lo spazio tangente in un punto è costituito
	dai vettori ortogonali al punto in $\mathbb{R}^{n+1}$.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il gruppo ortogonale è un insieme di livello della candidata
	sommersione di $\GL$ nelle matrici simmetriche $A\mapsto A^{t}A$. Per
	far vedere che il differenziale è ovunque suriettivo basta farlo vedere
	nell'identità perché questo fatto è invariante per traslazioni
	(diffeomorfismi).

	Il tangente a $\GL$ è Mat, mentre Sym è uno spazio vettoriale. Usiamo la
	curva liscia $I+tB$ definita in un intorno di 0, che rappresenta il
	vettore tangente $B$. Se vogliamo trasportarlo nelle simmetriche
	trasportiamo la curva e valutiamo in 0. \[ d\psi_{I}(B) =
	\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}(I+tB)^{t}(I+tB) = B+B^{t} \] e ogni matrice
	simmetrica si può scrivere così.

	Pertanto $\dim O =\dim \GL -\dim Sym = n(n-1)/2$ e l'algebra è composta
	dalle matrici antisimmetriche.
\end{ex}
\begin{deff}
	Un sottoinsieme è trascurabile se lo è in ogni carta locale.
\end{deff}

\begin{teo}[Sard]
	Una mappa $C^{\infty}$ ha valori regolari quasi ovunque.
\end{teo}

\subsection{Campi}
\begin{deff}
	Una curva liscia la definiamo su un chiuso se è $C^{\infty}$ su ogni
	aperto interno. Una curva è liscia a tratti se partizionato il chiuso
	la curva è liscia sulle partizioni.
\end{deff}

\begin{deff}
	Un campo vettoriale lungo una curva è una mappa nel fibrato tangente
	che la solleva.
\end{deff}

\begin{deff}
	Un campo vettoriale su un aperto è una mappa che solleva l'identità su
	$U$, ovvero una sezione del fibrato tangente.
\end{deff}

\begin{prop}
	Sono equivalenti: \begin{enumerate} \item $X$ è $C^{\infty}$ \item $X$
	componenti $C^{\infty}$ in ogni carta locale. \item $X$ manda funzioni
	$C^{\infty}$ in funzioni $C^{\infty}$. \end{enumerate}

\end{prop}

\begin{proof}
	$(1)\implies(2)$: $X$ è una mappa nel fibrato tangente e lì posso
	estrarre le coordinate di un vettore applicandogli i differenziali
	delle coordinate, e quindi componendo mappe $C^{\infty}$.
	$(2)\implies(3)$: se $X$ è combinazione di campi coordinati stiamo
	derivando una funzione $C^{\infty}$. $(3)\implies(1)$: se voglio
	estrarre le coordinate posso fare $dx_{i}\circ X\Big|_{U}$ che però per
	definizione è $X(x_{i})$
\end{proof}

\begin{deff}
	La parentesi di Lie di due campi è

	\[ [X,Y]_{p}(f) = X_{p}(Y(f))-Y_{p}(X(f)) (\in \mathbb{R})\] che è ben
	definita perché le derivate del secondo ordine si cancellano e si ha

	\[ c_{i} = \left( a_{j}\frac{\partial b_{k}}{\partial
	x_{j}}-b_{j}\frac{\partial a_{k}}{\partial x_{j}} \right)  \]

\end{deff}

\begin{prop}
	\begin{itemize}
		\ \item $[fX,gY] = fg[X,Y]+fX(g)Y-gY(f)X$ \item
	$[Y,X]=[X,Y]$ \item $[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0$ \end{itemize}

	Dalle ultime due proprietà segue che i campi vettoriali formano
	un'algebra di Lie.
\end{prop}

\begin{deff}
	Un campo vettoriale lungo una mappa è un sollevamento della mappa al
	fibrato tangente.
\end{deff}

\begin{deff}
	Due campi sono $\psi$-correlati se $d\psi \circ X = Y \circ \psi$, che
	diventa un campo vettoriale lungo $\psi$.
\end{deff}

\begin{prop}
	Se $X_{1}$ è correlato a $Y_{1}$ e $X_{2}$ è correlato a $Y_{2}$ allora
	$[X_{1},X_{2}]$ è correlato a $[Y_{1},Y_{2}]$.
\end{prop}

\begin{proof}
	Bisogna giocherellare con la definizione di differenziale:
	\begin{align*} d\psi_{p}([X_{1},X_{2}]_{p})(f) &=
		[X_{1},X_{2}]_{p}(f\circ \psi)\\ &= X_{1}(p)(X_{2}(f\circ
		\psi))-\dots \\ &= X_{1}(p)(d\psi(X_{2})(f))-\dots \\ &=
		X_{1}(p)(\tilde{Y}(f)\circ\psi)-\dots \\ &=
	d\psi_{p}(X_{1}(p))(\tilde{Y}(f)) - \dots \\ &=
	Y_{\psi(p)}(\tilde{Y}(f))-\dots \\ &= [Y,\tilde{Y}]_{\psi(p)}(f)
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{deff}
	Le curve che hanno vettore tangente uguale ad un campo si dicono sue
	curve integrali.
\end{deff}

\begin{teo}
	Il problema di Cauchy \[ \begin{cases} \sigma'_{i} f_{i}(\sigma_{i}) \\
	\sigma(0) = p \end{cases}\] dove $f$ è $C^{1}$ su un aperto di
	$\mathbb{R}^{d}$ ha soluzione in un intorno di $0$.
\end{teo}

\begin{teo}
	Se $f$ è $C^{\infty}$ il problema di Cauchy sopra ha soluzione
	$C^{\infty}$ che è $C^{\infty}$ anche come funzione della condizione
	iniziale.
\end{teo}

\begin{teo}
	Ogni campo vettoriale ($C^{\infty}$) ha curve integrali massimali
	passanti per ogni punto definite per un intorno di 0. Ogni altra curva
	integrale passante da un certo punto è definita per tempi più stretti e
	coincide su questi con la soluzione massimale.
\end{teo}

\begin{proof}
	Dato che in qualche intorno c'è soluzione per i teoremi sopra,
	prendiamo l'unione dei domini di curve integrali che passano da un
	certo punto. Il sottoinsieme sul quale due curve integrali coincidono è
	almeno il punto da cui passano, è aperto per il primo teorema e chiuso
	per continuità, quindi per connessione è l'intero intervallo.
\end{proof}

\begin{deff}
	Il flusso di un campo vettoriale per un certo tempo è il diffeomorfismo che trasporta un punto nel punto della curva integrale a quel tempo.
\end{deff}

\begin{teo}
	\
	\begin{enumerate}
		\item Ogni punto ha un intorno spaziotemporale aperto in cui è definito il flusso.
		\item Il dominio di ogni flusso è un insieme aperto.
		\item I domini dei flussi ricoprono la varietà.
		\item Il dominio per il flusso in una direzione è diffeomorfo a quello per la direzione opposta.
		\item Il dominio della composizione di flussi sta nel dominio del flusso risultante, e se i flussi vanno nella stessa direzione questi coincidono proprio. I flussi formano un semigruppo a un parametro.
	\end{enumerate}
\end{teo}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}
			Il punto (a) segue dall'ultimo teorema.

			Per il punto (e) basta vedere che tutto quello che deve
			andare bene va bene.

			Il punto (c) segue dal fatto che ogni punto ha il
			flusso definito in qualche intorno.

			Per punti (b) e (d) consideriamo il caso $t>0$. La
			compattezza della traccia della curva per $[0,t]$
			permette di ricavare a partire dal punto (a) un intorno
			spaziotemporale della traccia in cui $\psi_{t}$ è ben
			definito. Spezzettiamo il tempo in passi uguali più
			corti della larghezza temporale di questo intorno. Il
			dominio spaziale del flusso ad ogni passo è costituito
			dal dominio precedente fluito nella direzione opposta,
			quindi tutti i domini fino all'ultimo sono aperti
			contenuti nel primo dominio. Ripetendo tutta la
			costruzione al contrario si ricava (d).
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{ex}
	Sul piano senza l'origine prendiamo il campo $\partial_{x}$. Il punto
	$(-1,0)$ sta nel dominio di $\psi_{-1+1}$ ma non nel dominio di
	$\psi_{-1}\circ\psi_{1}$.
\end{ex}

\begin{deff}
	Un campo è completo se è ha curve integrali definite per tutti i tempi.
\end{deff}

\begin{ex}
	In ogni varietà non compatta posso includere differenzialmente la retta
	reale e considerare il campo $r^{2}\frac{d}{dr}$ che non è completo.
\end{ex}

\begin{lem}[di fuga]
	Se una curva integrale non esiste per tutti i tempi allora non può
	essere contenuta in un compatto.
\end{lem}

\begin{proof}
	Mettiamo che il dominio di una curva sia $(a,b)\subset K$ ed
	estendiamola.

	Una successione $t_{n}\rightarrow b$ ha una sottosuccessione
	convergente a $q$$\sigma_{p}(q)\in K$, che ha un intorno
	spaziotemporale $(-\varepsilon,\varepsilon)\times V$ in cui è definito
	il flusso.

	Prendendo $t_{n}$ tale che $\sigma_{p}(t_{n})\in V$ e che dista da $b$
	meno di $\varepsilon$. Ancorandoci qui possiamo far fluire il campo di
	$t-t_{n}$ ed uscire dall'intervallo, ma allora
	$\psi_{t-t_{n}}\circ\psi_{t_{n}}=\psi_{t}$ per l'ultimo punto del
	teorema grande.
\end{proof}

\begin{teo}
	Su una varietà compatta ogni campo è completo.
\end{teo}

\begin{deff}
	Una varietà è parallelizzabile se ha $n$ campi che fanno da base per
	tutti gli spazi tangenti, ovvero $n$ campi indipendenti mai nulli.
\end{deff}

\begin{ex}
	Lo spazio euclideo è parallelizzabile.
\end{ex}

\begin{ex}
	Posso includere differenzialmente le sfere nello spazio euclideo e
	identificare lo spazio tangente in un punto con il piano ortogonale.

	Un campo mai nullo su $S^{2n-1}\subset \mathbb{C}^{2n}$ è $z\mapsto iz$
	che per $S^{1}$ è una parallelizzazione.

	Allo stesso modo usando le altre 2 algebre di divisioni si parallelizza
	$S^{3}\subset \mathbb{H}$ con $h\mapsto (ih,jh,kh)$ ed $S^{7}\subset
	\mathbb{O}$.

	Queste sono le uniche sfere parallelizzabili.
\end{ex}

\begin{ex}
	$S^{2}$ non è parallelizzabile perché non ha campi non nulli per il
	teorema della palla pelosa.
\end{ex}

\begin{ex}
	Ogni 3-varietà è parallelizzabile (Stiefel).
\end{ex}

\section{Tensori}

\subsection{Prodotto tensore}

\begin{deff}
	$V \otimes W$ è lo spazio generato dagli elementi di $V\times W$ modulo
	relazioni di bilinearità. Questa proiezione è una mappa bilineare.
\end{deff}

\begin{teo}[Proprietà universale del prodotto tensore]
	Mappa bilineare = ``proiezione bilineare" + mappa lineare sul tensore.
	Ogni spazio con questa proprietà è isomorfo a $V\otimes W$.
\end{teo}

\begin{proof}
	Boh la prima parte più ci penso più è ovvio, poi se fattorizzo la
	proiezione canonica di uno di questi spazi sull'altro e viceversa
	ottengo un isomorfismo.
\end{proof}

\begin{cor}
	\ \begin{itemize} \item $\Bil(V,W) \cong (V\otimes W)^{*}$ \item
	$V\otimes W \cong W \otimes V$ \item $(V\otimes W) \otimes U \cong V
	\otimes (W \otimes U)$ \end{itemize}

\end{cor}

\begin{prop}
	$V^{*}\otimes W \cong \Hom(V,W)$
\end{prop}

\begin{proof}
	Per descrivere una mappa lineare basta una base duale sullo spazio di
	partenza, che estrae le coordinate dei vettori, e una base sullo spazio
	di arrivo.
\end{proof}

\begin{cor}
	\
	\begin{itemize}
		\item $\dim (V\otimes W) = \dim V \dim W$
		\item $\mathbb{R}\otimes V \cong V \otimes \mathbb{R} \cong V$
			canonicamente
		\item I prodotti tensori degli elementi di due basi formano una
			base del prodotto tensore.
	\end{itemize}
\end{cor}

\begin{deff}
	Lo spazio dei tensori di tipo $(r,s)$ è $V_{r,s}=\bigotimes_{i=1}^{r} V
	\bigotimes_{j=1}^{s} V^{*}$
\end{deff}

\begin{deff}
	Un tensore della forma $\bigotimes_{i=1}^{r}v_{i}\bigotimes_{j=1}^{s}
	v^{*}_{j}$
\end{deff}

\begin{deff}
	$T(V)=\bigoplus_{r,s} V_{r,s}$  è un'algebra bigraduata associativa e
	non commutativa.
\end{deff}

\begin{deff}
	Un'applicazione $V^{r}\times (V^{*})^{s}\rightarrow W$ è multilineare
	se è lineare in ogni variabile.
\end{deff}

\begin{ex}
	Prodotti scalari, determinante, prodotto vettoriale.
\end{ex}

\begin{cor}
	Ogni applicazione multilineare corrisponde unicamente ad
	un'applicazione lineare su $V_{r,s}$.
\end{cor}

\subsection{Tensori antisimmetrici}
\begin{deff}
	Un tensore antisimmetrico sta in

	\[\Lambda V= \bigoplus_{k} \frac{V_{k,0}}{\langle v\otimes v\rangle\cap
	V_{k,0}}\]

	(funziona perché il denominatore è un ideale bilatero, graduato, bla
	bla bla) che l'algebra esterna.
\end{deff}

\begin{prop}
	$u\wedge v = (-1)^{\deg u \deg v} v \wedge u$
\end{prop}

\begin{proof}
	Basta dimostrarlo sui tensori decomponibili, dove per scambiare di
	posto due tensori bisogna fare $\deg u \deg v$ scambi.
\end{proof}

\begin{prop}
	Una base di $\Lambda^{k} V$ è costituita dai prodotti esterni di
	elementi della base in ordine crescente, che sono $\binom{d}{k}$
\end{prop}

\begin{proof}
	I prodotti tensore decomponibili di elementi della base generano
	$V_{k,0}$ e dato che il prodotto esterno è alternante posso prendere
	quelli in ordine crescente. Fissando un $k$ i $\binom{d}{k}$ elementi
	$e_{J_{i}}$ sono linearmente indipendenti perché da una somma
	$a_{i}e_{J_{i}}$ posso estrarre il coefficiente $a_{\ell}$
	moltiplicando con gli $e_{J_{\ell}^{c}}$ in modo da uccidere tutti gli
	altri ed arrivare a $\pm a_{\ell} e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k}$.
\end{proof}

\begin{cor}
	$\dim \Lambda V = 2^{d}$
\end{cor}

\begin{deff}
	Un'applicazione multilineare è alternante se $f(\sigma(v_{i})) =
	\varepsilon(\sigma) f(v_{i})$
\end{deff}

\begin{ex}
	Ogni funzionale lineare, il determinante, il prodotto vettoriale.
\end{ex}

\begin{ex}
	Se ci fosse un'applicazione multilineare alternante canonica sarebbe
	$\varphi(v_{i}) = \bigwedge_{i} v_{i}$.
\end{ex}

\begin{prop}[Proprietà universale dell'algebra esterna]
	Applicazione multilineare alternante = ``proiezione multilineare
	alternante" + mappa lineare su $\Lambda^{k} V$, e tutti gli spazi con
	questa proprietà sono isomorfi.
\end{prop}

\begin{cor}
	$\Lambda^{2} \mathbb{R}^{3} \cong \mathbb{R}^{3}$ mediante
	$\times/\varphi$.
\end{cor}

\subsection{Dualità}
\begin{deff}
	Un appaiamento tra due spazi è un modo bilineare di arrivare a un
	numero reale partendo da un $v$ e usando $u$. Un appaiamento è perfetto
	se per ogni $v$ c'è almeno un $w$ per il quale $(v,w)$ e viceversa.

	Un appaiamento mette in relazione uno spazio col duale dell'altro, e se
	è perfetto questa identificazione è iniettiva e quindi un isomorfismo.
\end{deff}

\begin{ex}
	Un prodotto scalare è un appaiamento di $V$ con sé stesso.
\end{ex}

\begin{ex}[Tra $(V^{*})_{r,s}$ e $V$]
	Per ottenere un numero reale applichiamo gli $r$ covettori agli $r$
	vettori e gli $s$ covettori agli $s$ co-covettori e moltiplichiamo.
	Questo appaiamento dà $(V^{*}_{r,s})\cong (V_{r,s})^{*} \cong
	M_{r,s}(V)$.
\end{ex}

\begin{ex}[Tra $\Lambda^{k}(V^{*})$ e $\Lambda^{k}V$]
	Per ottenere un numero reale calcoliamo l'area dell'ipercubo formato
	dai vettori nella base specificata dai covettori.

	\[ (v^{*},u) = \dett(v^{*}_{i}(u_{j})) \] Questo dà
	$\Lambda^{k}(V^{*})\cong (\Lambda^{k}V)^{*}\cong A^{k}(V)$ per ogni $k$
	e anche per l'algebra intera.

	Un'altra scelta è

	\[ (v^{*},u) = \frac{1}{k!}\dett(v^{*}_{i}(u_{j})) \] Questi due
	isomorfismi $\alpha$ e $\beta$ danno strutture diverse strutture di
	algebra a $A^{k}(V)$. Il prodotto dato da $\beta$ è in un certo senso
	normalizzato e può essere utile per definire certi oggetti come suoi
	punti fissi.
\end{ex}

\begin{prop}
	\begin{align*}
		(f \wedge_{\alpha} g) (v_{i}) &= \sum_{\sigma \in
		\Sh_{k,\ell}} \varepsilon(\sigma)
		f(v_{\sigma(1)},\dots,v_{\sigma(k)})
		g(v_{\sigma(k+1)},\dots,v_{\sigma(k+\ell)}) \\ f \wedge_{\beta} g
		&= \frac{(k+\ell)!}{k!\ell!} f \wedge_{\alpha} g
	\end{align*}
\end{prop}

\begin{proof}
	Usando l'isomorfismo calcoliamo poi il determinante con la formula di
	Leibniz. Scomponiamo le permutazioni in un prodotto di uno shuffle e di
	due permutazioni separate. Queste si raccolgono di nuovo usando
	l'isomorfismo al contrario, così che bisogna sommare solo sugli
	shuffle.
\end{proof}

\subsection{Endomorfismi}

\begin{deff}
	La moltiplicazione esterna per un $u\in \Lambda V$ fissato è un
	endomorfismo $\varepsilon_{u}$. Il suo duale è la moltiplicazione
	interna $\iota_{u}$ che inserisce $u$ come primo elemento di una mappa
	lineare alternante. Sostanzialmente $\iota_{u} =
	\varepsilon_{u}^{\dagger}$ secondo l'appaiamento appropriato.
\end{deff}

\begin{deff}
	Un endomorfismo di $\Lambda V$ si dice:
	\begin{itemize}
		\item derivazione se rispetta la regola di Leibniz
		\item antiderivazione se rispetta la regola di Leibniz graduata:
			\[ \varphi(u\wedge v) = \varphi(u)\wedge v + (-1)^{\deg u}\wedge \varphi(v) \]
		\item di grado $l$ se aumenta il grado di $l$
	\end{itemize}
\end{deff}

\begin{prop}
	La moltiplicazione interna per un vettore è un antiderivazione di grado -1.
\end{prop}

\begin{proof}
	Il fatto che sia un'antiderivazione lo si verifica sui decomponibili mostrando che

	\[ \iota_{u}(v^{*}_{1}\wedge \dots \wedge v^{*}_{k}) =
	\sum_{i} (-1)^{i+1} v^{*}_{1}\wedge\dots\wedge\iota_{u}v^{*}_{i}\wedge\dots\wedge v^{*}_{k}\]
	L'idea è di usare l'appaiamento fino a raggiungere un numero reale. A sinistra:
	\[ (\iota_{w_{1}}(v^{*}),w_{2}\wedge\dots\wedge w_{k})
	=(\varepsilon^{\dagger}_{w_{1}}(v^{*}),w_{2}\wedge\dots\wedge w_{k})
	= (v,w)\]
	A destra, usando che $\iota_{u} v^{*}_{i} = v^{*}_{i}(u)$:

	\begin{align*}
		&\Bigg(\sum_{i} (-1)^{i+1}
		v^{*}_{1}
		\wedge\dots\wedge\iota_{u}v^{*}_{i}
		\wedge\dots\wedge v^{*}_{k},
		w_{2} \wedge\dots\wedge w_{k}  \Bigg)\\
		=&\left(\sum_{i}(-1)^{i+1} v^{*}_{i}(u) v^{*}_{1}\wedge\dots\wedge v^{*}_{k}
		w_{2}\wedge\dots\wedge w_{k}\right)  \\
		=&\sum_{i} (-1)^{i+1} v^{*}_{i} (w_{1}) \dett\{v^{*}_{j}(w_{\ell})\}_{i1}
	\end{align*}

	che è lo sviluppo di Laplace lungo la prima colonna del determinante di $v^{*}_{j}(w_{\ell})$.
\end{proof}

\begin{nota}
	$\Lambda$ è un funtore covariante dalla categoria degli spazi
	vettoriali reali nelle algebre reali associative.
\end{nota}

\begin{ex}
	$\Lambda^{d}\varphi$ è la moltiplicazione per $\dett\varphi$.
\end{ex}

\subsection{Campi}
\begin{deff}
	Su una varietà: \begin{itemize} \item Il fibrato tensoriale di tipo
	(r,s) è $T_{r,s}(M) = \bigcup (T_{p}M)_{r,s}$ \item Il ($k$-esimo)
	fibrato esterno è $\Lambda^{k}(M) = \bigcup \Lambda^{(k)}T^{*}_{p}M$
	\end{itemize}

\end{deff}

\begin{deff}
	Le sezioni ($C^{\infty}$) di questi fibrati si dicono campi tensoriali
	di tipo $(r,s)$ oppure ($k$-)forme differenziali. In coordinate locali:
	\begin{align*} \alpha|_{U} &= a^{i_{1},\dots,i_{r}}_{j_{1},\dots,j_{s}}
		\frac{\partial}{\partial x^{I}} \wedge dx^{J} \\ \omega|_{U} &=
	b^{i_{1},\dots,i_{r}}_{j_{1},\dots,j_{s}} dx^{I} \end{align*}

	dove le componenti sono funzioni $C^{\infty}$.
\end{deff}

\begin{lem}
	Se $\omega$ è un'applicazione $C^{\infty}$ multilineare alternante sui
	campi vettoriali $\omega(X_{i})|_{p}$ dipende solo da $X_{i}(p)$.
\end{lem}

\begin{proof}
	Mostriamo che se $X|_{p} = 0$ allora $\omega(X) = 0$.

	Prendendo una funzione cut-off $\varphi$ che vale 1 in un sottointorno di
	$U$ e 0 fuori da $U$ possiamo considerare i campi $X_{i} =
	\varphi\partial_{x_{i}}$ e la funzione $\tilde{a}^{i}\supset\varphi a^{i}$
	definiti globalmente e nulli al di fuori di $U$. Riscrivendo $X$ in
	funzione di questi abbiamo che

	\[ \omega(X)\Big|_{p} =
	\omega\left(\tilde{a}^{i}X_{i}+(1-\varphi^{2})X\right)\Big|_{p} =
	\tilde{a}^{i}\Big|_{p}\omega(X_{i})\Big|_{p}+(1-\varphi^{2})\omega(X)\Big|_{p}
	= 0 \]

	Posso fare queste conclusioni proprio perché abbiamo oggetti estesi a
	tutta la varietà.
\end{proof}
\begin{prop}
	C'è corrispondenza 1:1 tra $k$-forme differenziali e mappe
	$k$-multilineari alternanti sui campi vettoriali. Più in generale i
	campi tensoriali $(r,s)$ corrispondono ad applicazioni
	$C^{\infty}$-multilineari $\Omega^{r}(M)\times X(M)^{s}\rightarrow
	C^{\infty}$.
\end{prop}

\begin{proof}
	L'idea è che se ho una mappa multilineare alternante a campi vettoriali
	posso ricavare una forma differenziale, che prende in input singoli
	vettori, considerando un qualsiasi campo globale che nel punto che
	considero sia uguale al vettore, dato che non mi interessa del campo
	all'infuori di questo punto.
\end{proof}

\subsection{Derivate}
\begin{teo}[Differenziale esterno]
	Esiste un'unica antiderivazione di grado 1 sulle forme differenziali
	che manda una funzione nel suo differenziale e soddisfa $d^{2} = 0$.
\end{teo}

\begin{proof}
	Se $\omega\Big|_{D\cap U} = a_{I}dx^{I}$ definiamo

	\[ \hat{d}\omega_{p} = da_{I}\Big|_{p} \wedge dx^{I}\Big|_{p} \] Questo
	è un endomorfismo di grado 1 che dipende solo dal germe della forma.
	Mostriamo che è un'antiderivazione sui tensori decomponibili (ogni
	termine si considera valutato in $p$): \begin{align*}
		\hat{d}(\omega_{1}\wedge\omega_{2}) &= \hat{d}(fdx_{I}\wedge
		gdx_{J})\\ &= \hat{d}(\varepsilon fg dx_{K}) \\ &= \varepsilon
		(g(p)df+f(p)dg)\wedge dx_{K} \\ &= df \wedge dx_{I} \wedge g(p)
		dx_{J} \\ &+ (-1)^{\deg f} f(p) dx_{I}\wedge dg \wedge dx_{J}
	\\ &= \hat{d}\omega_{1}\wedge \omega_{2}+(-1)^{r}
	\omega_{1}\wedge\hat{d}\omega_{2} \\ \end{align*} Mostriamo che è
	nilpotente (ogni termine valutato in $p$):

	\begin{align*} \hat{d}(df) &= \hat{d} \left( \frac{\partial f}{\partial
		x^{i}}\right)\wedge dx^{i}|_{p} \\ &=
		\sum_{j<i}\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{i}\partial x^{j}}
		dx^{j} \wedge dx^{i} - \sum_{j>i}\frac{\partial^{2}f}{\partial
		x^{i}\partial x^{j}} dx^{i} \wedge dx^{j} \\ &=
		\sum_{j<i}\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{i}\partial x^{j}}
		dx^{j} \wedge dx^{i} - \sum_{i>j}\frac{\partial^{2}f}{\partial
		x^{j}\partial x^{i}} dx^{j} \wedge dx^{i} \\ &=
		\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j}} -
	\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{j}\partial x^{i}} \right) dx^{j}
	\wedge dx^{i} \\ &= 0 \end{align*} dove nel primo passaggio ho
	invertito $dx^{i}$ e $dx^{j}$ mentre nel secondo $i$ e $j$.

	Calcolando $\hat{d}\omega$ in coordinate locali si vede che un
	differenziale che soddisfa queste proprietà non dipende da esse.

	Formalmente possiamo solo ora parlare di $d$ e senza i punti. Si
	verifica che effettivamente $d^{2}$ continua a fare 0.

	Per mostrare l'unicità mostriamo che un qualsiasi $\bar{d}$ che
	soddisfa le proprietà è locale, cioè se $\omega = 0$ in un intorno $W$
	allora $d\omega|_{p} = 0$. Prendiamo una funzione cut-off uguale a 0 in
	un sottointorno di $W$ e 1 fuori da $W$:

	\[ \bar{d}\omega|_{p} = \bar{d}(\varphi\omega)_{p} =
	\bar{d}\varphi_{p}+\varphi(p)\bar{d}\omega_{p} = 0 \] Dato che questo
	$\bar{d}$ funziona solo sulle forme globalmente definite, per definirlo
	su forme locali estendiamo $\omega$ a una forma globale con lo stesso
	germe in $p$ moltiplicandola per una funzione cut-off nulla fuori dal
	dominio di $\omega$ e uguale a 1 in un intorno di $p$. Allora
	$\psi\omega \supset \omega$ e definiamo \[ \bar{d}\omega_{p} =
	\bar{d}(\psi\omega)_{p} \]

	Questo $\bar{d}$ soddisfa le stesse proprietà di $d$, Leibniz graduato
	si vede sostituendo $\omega_{1}$ e $\omega_{2}$ con $\psi\omega_{1}$ e
	$\psi\omega_{2}$, mentre la nilpotenza si ha espandendo il prodotto e
	usando che $\psi$ è costante in un intorno di $p$.
\end{proof}

\begin{ex}
	Su $\mathbb{R}^{2}-\{0\}$ consideriamo la 1-forma

	\[ \alpha(x,y) = \frac{xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}\]

	Si verifica che $d\alpha = 0$.
\end{ex}

\begin{deff}
	Puoi fare la moltiplicazione interna anche per un campo vettoriale.
\end{deff}

\begin{ex}
	Sulla varietà $\mathbb{R}^{+}\times (-\pi,\pi)$ con coordinate
	$(\rho,\vartheta)$ consideriamo il campo $\partial_{\rho}$ e la forma
	$d\rho\wedge d\vartheta$. Allora $X \lrcorner\, \omega = d\vartheta$.
\end{ex}

\begin{deff}
	Data una mappa $\psi$ il duale del differenziale $(d\psi_{p})^{*}:
	T^{*}_{\psi(p)}N \rightarrow T_{p}^{*}M$ induce un omomorfismo di
	algebre che permette di tirare indietro forme su $N$ a forme su $M$:
	\begin{align*} \Lambda(d\psi_{p})^{*}: \Lambda T_{\psi(p)}^{*}N
		&\rightarrow \Lambda T_{p}^{*}M  \\ \psi^{*}\omega_{p}
	&=\Lambda(d\psi_{p})^{*}(\omega_{\psi(p)}) \end{align*}

	Nel caso in cui $f$ sia una funzione $\psi^{*}f = f\circ\psi$.
\end{deff}

\begin{nota}
	Alle forme basta una mappa $C^{\infty}$ per essere tirate indietro. Ai
	vettori per essere spinti in avanti serve un diffeomorfismo locale.
\end{nota}

\begin{prop}
	\
	\begin{enumerate}
		\item Il pullback è un omomorfismo di algebre
		\item Il pullback commuta con il differenziale esterno.
		\item $\psi^{*}(\omega)(X_{i})(p) = \omega_{\psi(p)}(d\psi_{p}(X_{i}(p)))$
	\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}
	(1) e (3) sono ovvi. Per due, nel caso di una funzione:

	\[ \psi^{*}(df)(p) = (d\psi_{p})^{*}(df_{\psi(p)}) = d(f\circ \psi)_{p} = d(\psi^{*}(f))_{p} \]

	Dato che in coordinate locali una forma si scrive in termini di una funzione
	e di differenziali delle coordinate, possiamo usare la relazione trovata e l'omomorfismo di algebre
	per portare indietro $ a_{I}dx_{I} $ a $ (a_{I}\circ \psi) d(x_{I}\circ \psi) $ ottenendo ancora una forma.
	Differenziando:

	\begin{align*}
		d(\psi^{*}(\omega))_{p} &= d \left(a_{I}\circ \psi) d(x_{I}\circ \psi)_{p}  \right) \\
		&= \left(da_{I}\circ \psi) d(x_{I}\circ \psi)_{p}  \right) \\
		&= \psi^{*}\left(da_{I}\circ \psi) d(x_{I}\circ \psi)_{p}  \right) \\
		&= \psi^{*}(d\omega)_{p} \\
	\end{align*}
\end{proof}

\begin{nota}
	Dato che $\left( \Lambda\psi\circ\Lambda\varphi \right)^{*}=
	(\Lambda\varphi)^{*}\circ(\Lambda\psi)^{*}$ abbiamo $(\psi\circ\varphi)^{*} =
	\varphi^{*} \psi^{*} $.
\end{nota}

\begin{ex}
	Calcoliamo il pullback di $\alpha$ mediante $(\rho,\vartheta) \mapsto (\rho \cos \vartheta, \rho\sin\vartheta)$.
	\begin{align*}
		\Phi^{*}(dx) &= d(x\circ\Phi) =
		\frac{\partial(x\circ\Phi)}{\rho}d\rho + \frac{\partial(x\circ\Phi)}{\vartheta}d\vartheta
		= \cos \vartheta d\rho - \rho \sin \vartheta d\vartheta \\
		\Phi^{*}(dy) &= d(y\circ\Phi) =
		\frac{\partial(y\circ\Phi)}{\rho}d\rho + \frac{\partial(y\circ\Phi)}{\vartheta}d\vartheta
		= \sin \vartheta d\rho + \rho \cos \vartheta d\vartheta \\
		\Phi^{*}(\alpha) &= \Phi^{*} \left( \frac{1}{x^{2}+y^{2}}(-ydx+xdy) \right) \\
		&= \frac{1}{\rho^{2}}(-\rho\sin\vartheta(\cos(\vartheta)d\rho-\rho\sin\vartheta d\vartheta))
		+ \rho\cos\vartheta(\sin\vartheta d\rho + \rho \cos\vartheta d\vartheta) \\
		&= d\vartheta
	\end{align*}
\end{ex}

\begin{ex}[La 1-forma tautologica sul fibrato cotangente]
	Sia $\pi: T^{*}M \rightarrow M$. La 1-forma canonica sullo spazio delle fasi, nel punto $(q_{1},p_{1})$,
	agisce su un vettore di $T_{(q_{1},p_{1})}T^{*}M$, una coppia velocità-momento $(v,q_{v})$, così:

	\[ \lambda_{q_{1},p_{1}}\left( \frac{\partial}{\partial q_{2}},\frac{\partial}{\partial p_{2}} \right) =
	p\left(d\pi_{q_{1},p_{1}}\left( \frac{\partial}{\partial q_{2}},\frac{\partial}{\partial p_{2}} \right) \right)
	\approx p_{1}\left(\frac{\partial}{\partial q_{2}}\right) \]
	In coordinate locali ha l'aspetto $p_{i}dq^{i}$.

	\`E tautologica perché fa fare al momento della configurazione quello che lui è nato per fare:
	agire su un vettore velocità in quel punto.

	Questa forma cancella il pullback:

	\[ \omega^{*}(\lambda) = \omega \]

	Infatti:
	\begin{align*}
		\omega^{*}(\lambda)_{p}(v) &= \lambda_{p,\omega_{p}}(v) \\
		&= \omega_{p} (d\pi_{p,\omega_{p}}(d\omega_{p}(v)))\\
		&= \omega_{p} (d(\pi\circ\omega_{p})(v)) \\
		&= \omega_{p} (v)
	\end{align*}

	dato che $\omega$ è una sezione del fibrato cotangente.
\end{ex}

\subsection{Coomologia}
\begin{deff}
	Le forme su una varietà formano un'algebra differenziale commutativa graduata chiamata algebra di de Rham.
\end{deff}

\begin{deff}
	Una $p$-forma è
	\begin{itemize}
		\item \emph{chiusa} se sta in $\ker d_{p}$ (solenoidale)
		\item \emph{esatta} se sta in $\Ima d_{p-1}$ (conservativa)
	\end{itemize}

\end{deff}

\begin{deff}
	Il $p$-esimo gruppo di coomologia di de Rham è l'insieme di forme chiuse non esatte:

	\[ H^{p}_{dR} = \frac{\ker d_{p}}{\Ima d_{p-1}} = \frac{Z^{p}}{B^{p}}\]

\end{deff}

\begin{ex}[Varietà connesse]
	Su una varietà differenziale connessa non esistono forme esatte,
	e ogni 0-forma chiusa è una funzione costante, quindi l'$H^{0}_{dR}$ è $\mathbb{R}$.
\end{ex}

\begin{ex}[$\mathbb{R}$]
	Gli unici gruppi non banali sono per $p=0$, che dà $\mathbb{R}$, e per $p=1$. Ogni forma su $\mathbb{R}$ è chiusa,
	ma anche esatta perché $f(x)dx$ ha una primitiva, dunque $H^{1}_{dR} (\mathbb{R}) = 0$.
\end{ex}

\begin{ex}[$H^{1}_{dR}(S^{1})$]
	Cerchiamo 1-forme senza una primitiva.

	Dato che $S^{1}$ è compatto non esistono 1-forme esatte mai nulle.
	La 1-forma $\Phi^{*}\alpha$ è chiusa ma non è mai nulla, quindi rappresenta una classe di coomologia non banale.
	\[ \alpha\Big|_{S^{1}-\{-1\}} = d\vartheta  \]
	Una funzione su $S^{1}$ è una funzione su $\mathbb{R}$ di periodo $2\pi$.

	Dato che $\alpha$ non è mai nulla possiamo scrivere ogni 1-forma come $f\alpha$, su $W$ semplicente $fd\vartheta$.

	Se correggiamo $fd\vartheta$ sottraendole il suo integrale
	\[ \bar{f} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\vartheta)d\vartheta \]
	la sua funzione integrale ha periodo $2\pi$, pertanto $fd\vartheta-\bar{f}d\vartheta = dg$
	è esatta e $[f\alpha] \propto [\alpha]$, e quindi $H^{1}_{dR}(S^{1}) \cong \mathbb{R}$.
\end{ex}
\subsection{Altre derivate}

\begin{deff}
	La \emph{derivata di Lie} di $Y$ rispetto a $X$ è

	\[ (\mathcal{L}_{X}Y )_{p} = \lim_{t \rightarrow 0}
	\frac{(d\psi_{-t})(Y_{\psi_{t}(p)})-Y_{p}}{t} = \frac{d}{dt}\Big|_{t=0}(d\psi_{-t})(Y_{\psi_{t}(p)})\]
	L'idea è
	\begin{itemize}
		\item Parti da $p$ e segui la curva integrale di $X$ passante per $p$ fino a $\psi_{t}(p)$,
			e valuta $Y$ in questo punto. (Lancia l'ago magnetizzato e lascialo trasportare
			dalla corrente per un breve tratto. Osserva in che direzione si orienta.)
		\item Porta indietro il vettore ottenuto al punto di partenza utilizzando $(d\psi_{-t})_{\psi(p)}$.
			(Tira la canna da pesca.)
		\item Confronta il vettore portato indietro con l'orientazione del tuo ago magnetico nel punto $p$.
	\end{itemize}

	Per tirare indietro una forma invece che usare $(d\psi_{-t})_{p}$
	(ci era andata bene che avevamo un diffeomorfismo) usiamo $\psi^{*}_{t}$:

	\[ (\mathcal{L}_{X}\omega )_{p} = \lim_{t \rightarrow 0}
	\frac{\psi^{*}_{t}(\omega_{\psi_{t}(p)})-\omega_{p}}{t} = \frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\psi_{t}^{*}(\omega_{\psi_{t}(p)})\]

	Per un campo tensoriale arbitrario:

	\[ (\mathcal{L}_{X}\omega )_{p} =
	\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}
	(d\psi_{-t})(v_{1}\otimes\dots\otimes v_{r})\otimes
	\psi_{t}^{*}(v^{*}_{1}\otimes\dots\otimes v^{*}_{s})\]

	dove $v_{1}\otimes\dots\otimes v_{r}\otimes v^{*}_{1}\otimes\dots\otimes v^{*}_{s} = T(\psi_{t}(p))$.
\end{deff}

\begin{lem}[Formula implicita per il differenziale]
	\begin{align*}
		d\omega(Y_{0},\dots,Y_{p})
		&= \sum_{i=0}^{p} (-1)^{i}Y_{i}(\omega(Y_{0},\dots,\hat{Y}_{i},\dots,Y_{p})) \\
		&+ \sum_{i<j} (-1)^{i+j} \omega([Y_{i},Y_{j}],
		Y_{0},\dots,\hat{Y}_{i},\dots,\hat{Y}_{j},\dots,Y_{p})
	\end{align*}

\end{lem}

\begin{proof}
	Espandiamo entrambi i membri nel caso $p=1$, in coordinate locali, per $\omega = fdg$
	\begin{align*}
		(d\omega)(X,Y) &= (df\wedge dg) (X,Y) \\
		&=df(X)dg(Y) -df(Y)dg(X) \\
		&= X(f)Y(g) -Y(f)X(g)\\
		X(\omega(Y)-Y(\omega(X)))-\omega([X,Y]) &=
		X(fY(g)-Y(fX(g)))-f[X,Y](g)\\
		&= X(f)Y(g)+fX(Y(g)) \\
		&-Y(f)X(g)-fY(X(g)) \\
		& -fX(Y(g)+fY(X(g)) \\
		&= X(f)Y(g)-Y(f)X(g)
	\end{align*}

\end{proof}

\begin{prop}
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item $\mathcal{L}_{X}f = X(f)$
		\item $\mathcal{L}_{X}Y = [X,Y]$
		\item $\mathcal{L}$ è una derivazione delle forme che commuta con $d$
		\item (Formula magica di Cartan) $\mathcal{L}_{X}=\iota_{X}d + d\iota_{X}$
		\item Per $Y_{0},\dots,Y_{p}\in \mathfrak{X}$

			\[\mathcal{L}_{Y_{0}}(\omega(Y_{1},\dots,Y_{p})) =
			(\mathcal{L}_{Y_{0}\omega})(Y_{1},\dots,Y_{p})+
			\sum_{i=1}^{p} \omega(Y_{1},\dots,Y_{i-1},
			\mathcal{L}_{Y_{0}}Y_{i},Y_{i+1},\dots,Y_{p})\]

			e
	\end{enumerate}

\end{prop}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Usando la definizione di flusso

			\[ \psi_{t}^{*}(f)(p) = (f \circ\sigma_{p})(t)\]

			dove $\sigma_{p}$ è la curva integrale passante per $p$. Dunque

			\[ (\mathcal{L}_{X}f)(p) = \frac{d}{dt}\Big|_{t=0} (f\circ\sigma_{p})(t)
			= df_{\sigma_{p}(t)}(\sigma'_{p}(t))\Big|_{t=0} = df_{p}(X_{p})= X(f)(p)\]

			perché le curve integrali rappresentano il campo in ogni punto.
		\item Usando la definizione di differenziale

			\[ (\mathcal{L}_{X}(f)(p))
			= \frac{d}{dt}\Big|_{t=0}Y_{\psi_{t}(p)}(f\circ\psi_{-t}) \]

			Definiamo su un intorno di $(0,0)$ la funzione

			\[ H(t,s) = (f\circ\psi_{-t}\circ\varphi_{s}\circ\psi_{t}(p) \]

			dove ${\varphi_{s}}$ è il gruppo a un parametro locale di $Y$.
			Usiamo (a) applicato alla funzione $f\circ\psi_{-t}$ nel punto $\psi_{t}(p)$:

			\[ Y_{\psi_{t}(p)}(f\circ\psi_{-t})
			= \frac{d}{ds}\Big|_{s=0} (f\circ\psi_{-t})(\varphi_{s}(\psi_{t}(p)))
			= \frac{\partial H}{\partial y}\Big|_{t,0}\]

			così che

			\[ (\mathcal{L}_{X}f)(p) = \frac{\partial^{2} H}{\partial x \partial y}\Big|_{(0,0)}\]

			Per calcolare questa derivata facciamo un passaggio intermedio ponendo

			\[ K(t,s,u) = (f\circ\psi_{u}\circ\varphi_{s}\circ\psi_{t})(p) \]

			così che $H(t,s) = K(t,s,-t)$. Dalla regola della catena:

			\[ \frac{\partial^{2}H}{\partial x \partial y}\Big|_{(0,0)}
			= \frac{\partial^{2}K}{\partial x \partial y}\Big|_{(0,0,0)}
			- \frac{\partial^{2}K}{\partial z \partial y}\Big|_{(0,0,0)} \]

			Dato che $K(t,s,0) = (f\circ\varphi_{s})(\psi_{t}(p))$ possiamo calcolare

			\[ \frac{\partial K}{\partial y}\Big|_{(t,0,0)} =
			\frac{d}{ds}(f\circ\varphi_{s})(\psi_{t}(p)) =
			(\mathcal{L}_{Y}f)(\psi_{t}(p)) = Y(f)(\psi_{t}(p))\]

			Andando avanti:

			\[ \frac{\partial^{2} K }{\partial x \partial y}\Big|_{(0,0,0)}
			= \frac{d}{dt}\Big|_{t=0}(Y(f)(\psi_{t}(p)))
			= (\mathcal{L}_{X}(Y(f)))(p) = X_{p} (Y(f)) \]

			Ragionando analogamente per $K(0,s,u) = (f\circ\psi_{u})\varphi_{s}(p)$ troviamo:

			\[ \frac{\partial^{2} K }{\partial y \partial z}\Big|_{(0,0,0)}
			=  Y_{p} (X(f)) \]

		\item Mostriamo che $\mathcal{L}_{X}$ è una derivazione togliendo e aggiungendo
			$\omega_{1}\wedge\psi_{t}^{*}(\omega_{2})$ al rapporto incrementale

			\[
				\frac{\psi_{t}^{*}(\omega_{1}\wedge\omega_{2})-\omega_{1}\wedge\omega_{2}}{t}
				= \frac{\psi^{*}_{t}(\omega_{1})-\omega_{1}}{t}\wedge\psi_{t}^{*}(\omega_{2})
				+\omega_{1}\wedge\frac{\psi^{*}_{t}(\omega_{2})-\omega_{2}}{t}
			\]

			e prendendo il limite $t \rightarrow 0$ ricordando che $\psi_{0}^{*}$ è l'identità.

			Mostriamo che $[\mathcal{L}_{X},d] = 0$ sulle funzioni, cioè che

			\[ \mathcal{L}_{X}(df)_{p}= d(\mathcal{X}f)_{p} \]

			Valutiamo questi covettori su un vettore tangente:
			\begin{align*}
				d(\mathcal{L}_{X}f)_{p}(v_{p}) &= v_{p}(\mathcal{L}_{X}f) \\
				&= v_{p} \left( \frac{d}{dt}\Big|_{t=0} (f\circ \psi_{t}) \right) \\
				\mathcal{L}_{X}(df)_{p}(v_{p}) &=
				\left( \frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\psi_{t}^{*}(df_{\psi_{t}(p)})(v_{p}) \right) \\
				&=\left( \frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\psi_{t}^{*}(df_{\psi_{t}(p)}(v_{p}) \right) \\
				&= \frac{d}{dt}\Big|_{t=0} df_{\psi_{t}(p)}(d\psi_{t}(v_{p})) \\
				&= \frac{d}{dt}\Big|_{t=0} d(f\circ\psi_{t})(v_{p})\\
				&= \frac{d}{dt}\Big|_{t=0} v_{p}(f\circ\psi_{t})\\
			\end{align*}

			Per il teorema grosso sul flusso dei campi, $f\circ \psi_{t}$ è una funzione liscia
			su $(-\varepsilon,\varepsilon)\times W$.
			Estendiamo $v_{p}$ a campo vettoriale su $W$ e consideriamo i campi
			$d/dt, V \in \mathfrak{X}((-\varepsilon,\varepsilon)\times W)$.
			I due membri sopra sono uguali se questi due campi commutano, come infatti succede.

			Essendo una derivazione, l'asserzione è vera anche su forme arbitrarie (scrivendole in coordinate locali).
		\item $\mathcal{L}_{X}$, $\iota_{X}\circ d$ e $d\circ\iota_{X}$ sono derivazioni di grado 0 che commutano con $d$ e coincidono sulle funzioni.

		\item Verifichiamo nel caso $p=1$, in coordinate locali, per $\omega = fdg$

			Usando (a):
			\[ \mathcal{L}_{X}(\omega(Y)) = X(fY(g)) = X(f)Y(g)+fX(Y(g)) \]
			Usando (d)

			\begin{align*}
				(\mathcal{L}_{X}\omega)(Y) &= \iota(X)(d\omega)(Y)+d(\iota(X)\omega) \\
				&= \iota(X)(df\wedge dg)(Y)+d(fX(g))Y \\
				&= df(X)dg(Y)-df(Y)dg(X)+df(Y)X(g)+fd(X(g))(Y) \\
				&= X(f)Y(g)+fY(X(g))
			\end{align*}
			Sottraendo una all'altra e usando (b)

			\begin{align*}
				\mathcal{L}_{X}(\omega(Y))-(\mathcal{L}_{X}\omega)(Y) &=
				f(X(Y(g))-Y(X(g)))\\
				&= f[X,Y](g) \\
				&=  fdg([X,Y]) \\
				&= \omega([X,Y]) \\
				&= \omega(\mathcal{L}_{X}Y)
			\end{align*}

	\end{enumerate}

\end{proof}
\subsection{Orientazione}
\begin{deff}
	Un'orientazione di uno spazio vettoriale è la scelta di un elemento non nullo di $\Lambda^{d}V^{*}\cong \mathbb{R}$,
	che ha due componenti connesse, che corrispondono alle due possibili orientazioni.

	Una varietà è orientabile se rimuovere la sezione nulla spezza il fibrato esterno massimo in due componenti connesse,
	e un'orientazione è la scelta di una di queste componenti.
\end{deff}

\begin{deff}
	Una mappa preserva l'orientazione se la mappa indotta sui fibrati potenza esterna mappa
	la componente dritta nella componente dritta.
\end{deff}

\begin{prop}
	Una $d$-varietà è orientabile se e solo se ha una $d$-forma mai nulla.
\end{prop}

\begin{proof}
	Data una $d$-varietà orientabile, per ogni punto prendiamo una $d$-forma $\omega$ definita
	in un suo intorno, il cui valore nel punto è dritto (in particolare non nullo).

	Restringendo a sottointorni sui quali $\omega\Big|_{V_{p}}\neq 0$ otteniamo un ricoprimento aperto.
	Data una partizione dell'unità subordinatagli, $\omega = \sum \varphi_{i}\omega_{p_{i}}$ è una
	$d$-forma mai nulla.

	Viceversa i multipli per funzioni positive o negative di una $d$-forma mai nulla separano il
	fibrato massimo in componenti disconnesse.
\end{proof}

\begin{ex}
	L'orientazione standard di $\mathbb{R}^{d}$ è data dalla forma $dr_{1}\wedge \dots \wedge dr_{d}$
\end{ex}

\begin{ex}
	Ogni varietà parallelizzabile è orientabile. In particolare, ogni gruppo di Lie.
\end{ex}

\begin{ex}
	Le varietà ottenute col teorema della funzione implicita sono orientabili. In particolare, le sfere.
\end{ex}

\begin{ex}
	Gli spazi proiettivi dispari sono orientabili, i pari no.
\end{ex}

\subsection{Integrazione}

\begin{deff}
	Data una $d$-forma su $\mathbb{R}^{d}$ la possiamo scrivere come $fd\Omega$. Poniamo

	\[ \int_{A}\omega = \int_{A} f \]

\end{deff}
\begin{teo}[Cambio di variabile]
	Cambiando variabile con un diffeomorfismo di un'aperto limitato, l'integrale su un suo sottoinsieme
	misurabile diventa

	\[ \int_{\varphi(A)}f = \int_{A}(f\circ\varphi)|\dett d\varphi| \]

	Che scritto in termini di forme è

	\[ \int_{\varphi(A)}\omega = \pm \int_{A}\varphi^{*}\omega \]

	a seconda che $\varphi$ preservi o no l'orientazione.
\end{teo}

\begin{deff}
	Il $d$-simplesso standard è $D^{d}_{\norm{\cdot}_{1}}/\mathbb{Z}^{2^{d}}$

	Un $p$-simplesso singolare differenziabile su varietà è un'inclusione $\sigma:\Delta^{p}\rightarrow M$
	che estende a una mappa liscia su un intorno di $\Delta^{p}$ in $\mathbb{R}^{d}$.
\end{deff}

\begin{deff}
	Una $p$-catena singolare differenziabile è una combinazione lineare finita a coefficienti reali di
	$p$-simplessi singolari differenziabili.
\end{deff}

\begin{deff}
	Possiamo considerare il $p$-simplesso come una faccia del $(p+1)$-simplesso
	in $(p+1)$-modi con le inclusioni $k^{p}_{i}$:
	\begin{itemize}
		\item La faccia 0 è quella diagonale
		\item La faccia $i$ è quella perpendicolare all'asse $x_{i}$.
	\end{itemize}

	Le facce di un simplesso, denotate con indice alto, in una varietà sono $\sigma^{i} = \sigma\circ k^{p-1}_{i}$.
\end{deff}

\begin{deff}
	Il bordo di un simplesso singolare differenziabile $\sigma$ è la catena

	\[ \partial\sigma = \sum_{i} (-1)^{i}\sigma^{i}\]

	Estendendo per linearità $\partial$ è l'operatore di bordo su catene arbitrarie.
\end{deff}

\begin{deff}
	L'integrale di una $p$-forma su un $p$-simplesso singolare differenziabile è

	\[
		\int_{\sigma}\omega =
		\begin{cases}
			\omega(\sigma(0)) & p=0 \\
			\int_{\Delta^{p}}\sigma^{*}(\omega) & p>0
		\end{cases}
	\]

	Questa definizione si estende per linearità a catene arbitrarie.
\end{deff}

\begin{teo}[Stokes I]

	\[ \int_{\partial c}\omega  = \int_{c} d\omega\]

\end{teo}

\begin{deff}
	Un dominio regolare è un sottoinsieme di una varietà in cui per ogni punto si verifica
	una di queste condizioni:
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item $p$ è un punto interno, cioè un intorno aperto di $p$ è contenuto in $D$
		\item $p$ è un punto esterno, cioè un intorno aperto di $p$ è contenuto in $M-D$
		\item $p$ è un punto di bordo, cioè esiste una carta locale centrata in $p$ tale che
			$\varphi(U\cap D) = \varphi(U)\cap \mathbb{H}^{d}$, dove $\mathbb{H}^{d}$ è l'iperpiano $r_{d}\geq 0$.
	\end{enumerate}

	Le carte locali su $\partial D$ lo rendono una sottovarietà regolare.
\end{deff}

\begin{ex}
	I dischi sono domini regolari, i simplessi no.
\end{ex}

\begin{deff}
	Un vettore su $\partial D$ si dice esterno se ogni curva nella sua direzione
	esce per tempi piccoli da $D$.
\end{deff}

\begin{deff}
	L'orientazione indotta sul bordo di un dominio regolare considera dritte le basi
	che sono dritte aggiungendo come primo elemento un vettore esterno.
\end{deff}

\begin{deff}
	Un simplesso in una varietà è regolare se l'inclusione estende ad un diffeomorfismo,
	e se questa preserva l'orientazione il simplesso si dice orientato.
\end{deff}

\begin{deff}
	Per calcolare l'integrale di una forma a supporto compatto su un dominio regolare,
	lo ricopriamo con aperti di due tipi:
	\begin{enumerate}
		\item Interni di un $d$-simplesso regolare orientato interno a $D$
		\item Immagini mediante un $d$-simplesso regolare orientato di un intorno di un punto della
			$d$-esima faccia di $\Delta^{d}$, che interseca $\partial D$ solo nella $d$-esima
			faccia, la cui immagine o sta nel simplesso o fuori da $D$.
	\end{enumerate}

	Prendiamo un ricoprimento finito di $\overline{\supp \omega \cap D}$ fatto da aperti di questo tipo e
	completiamolo a un ricoprimento globale aggiungendogli $M-\overline{\supp \omega \cap D}$.

	Presa una partizione dell'unità $\varphi,\varphi_{i}$ subordinata a questo ricoprimento definiamo

	\[ \int_{D}\omega = \sum_{i}\int_{\sigma_{i}}\varphi_{i}\omega \]

	dove $\sigma_{i}$ è il simplesso associato alla pezza $U_{i}$.
\end{deff}

\begin{lem}
	La definizione non dipende né dal ricoprimento né dalla partizione dell'unità scelti.
\end{lem}

\begin{teo}[Stokes II]
	Stokes I vale per forme a supporto compatto su domini regolari di una varietà orientata.
\end{teo}

\begin{cor}
	Su una $d$-varietà compatta e orientata per $\omega\in\Omega^{d-1}(M)$ abbiamo

	\[ \int_{M}d\omega = 0\]

\end{cor}

\begin{cor}
	Una forma di volume su una varietà compatta e orientata non è esatta.
\end{cor}

\begin{cor}
	L'ultimo gruppo di coomologia di de Rham di una varietà compatta orientata non è mai banale.

	Spoiler: è generato dalla forma di volume.
\end{cor}

\section{Geometria riemanniana}
\subsection{Connessioni affini}
\begin{deff}
	Una connessione affine è un modo di derivare un campo $Y$ rispetto ad un altro $X$,
	ottenendo un altro campo $\nabla_{X}Y$.
	\begin{itemize}
		\item $\nabla_{fX+gY}Z = f\nabla_{X}Z+g\nabla_{Y}Z$
		\item $\nabla_{X}(Y+Z) = \nabla_{X}Y+\nabla_{X}Z$
		\item $\nabla_{X}(fY) = f \nabla_{X}Y+X(f)Y$
	\end{itemize}

	\`E tensoriale solo nella prima variabile. Per confronto, la derivata di Lie non lo è in nessuna delle due.
\end{deff}

\begin{ex}
	Per campi su $\mathbb{R}^{d}$ la derivata direzionale
	$\nabla_{X}Y = X(Y)$ è una connessione affine.
\end{ex}

\begin{nota}
	Il valore di $\nabla_{X}Y$ in un punto dipende solo dal valore di $X$ e $Y$ in un intorno del punto.

	Scrivendo $X$ e $Y$ in coordinate locali:
	\begin{align*}
		\nabla_{X}Y &=\sum_{i}\alpha^{i}\nabla_{X_{i}}\left( \sum_{j}\beta^{j} X_{j} \right) \\
		&= \sum_{i,j}\alpha^{i}\beta^{j}\nabla_{X_{i}}X_{j}+\alpha^{i}X_{i}(\beta^{j})X_{j} \\
		&= \sum_{k} \left( \sum_{i,j}\alpha^{i}\beta^{j}\Gamma^{k}_{ij}+\alpha^{i}X_{i}(\beta^{k}) \right) X_{k}
	\end{align*}

	$\Gamma^{k}_{ij}$ sono i simboli di Christoffel della connessione in questa carta locale.
\end{nota}

\begin{nota}
	Una connessione permette di derivare arbitrari campi tensoriali:
	\begin{align*}
		(\nabla_{Y}T)(\alpha_{1},\dots,\alpha_{r},X_{1},\dots,X_{s}) &=
		Y(T(\alpha_{1},\dots,\alpha_{r},X_{1},\dots,X_{s}))\\
		&- \sum_{i=1}^{r} T(\alpha_{1},\dots,\nabla_{Y}\alpha_{i},\dots,\alpha_{r},X_{1},\dots,X_{s}) \\
		&- \sum_{i=1}^{r} T(\alpha_{1},\dots,\alpha_{r},X_{1},\dots,\nabla_{Y}X_{i},\dots,X_{s})
	\end{align*}

	Per una 1-forma

	\[ (\nabla_{X}\alpha)(Y) = X(\alpha(Y))-\alpha(\nabla_{X})Y \]

\end{nota}
\begin{prop}
	Data una varietà con connessione affine e una curva, esiste un unico operatore $D/dt$
	sui campi lungo la curva che soddisfa
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\frac{D}{dt}(X+Y)= \frac{DX}{dt}+\frac{DY}{dt}$
		\item $\frac{D}{dt}(fX)= \frac{df}{dt}X+f\frac{DX}{dt}$
		\item Se $X = Z(\sigma(t))$ proviene da un campo globale $\frac{DX}{dt}=\nabla_{\sigma'(t)}Z$
	\end{enumerate}

	e che si chiama derivata covariante lungo $\sigma$.
\end{prop}

\begin{nota}
	L'ultimo punto ha senso perché la connessione dipende solo dai valori locali.
\end{nota}
\begin{proof}
	Supponiamo che un $D/dt$ così esista. Allora
	\begin{align*}
		\frac{DX}{dt} &= \sum_{j}\frac{d\alpha^{j}}{dt}X_{j}+\sum_{j} \alpha^{j}\frac{DX_{j}}{dt} \\
		\frac{DX_{j}}{dt} &= \nabla_{\sigma'(t)}X_{j} = \sum_{i}\frac{d\sigma^{i}}{dt}\nabla_{X_{i}}X_{j} \\
		\frac{DX}{dt} &= \sum_{j}\frac{d\alpha^{j}}{dt}X_{j}+
		\sum_{i,j}\frac{d\sigma^{i}}{dt}\alpha^{j}\nabla_{X_{i}}X_{j}
	\end{align*}

	il che dimostra che se esiste, è unico. Allora lo definiamo così in un intorno coordinato, e
	definendolo in altro intorno le definizioni devono coincidere nell'intersezioni per unicità.
	Pertanto può essere definito globalmente
\end{proof}

\begin{deff}
	Un campo lungo una curva è parallelo se $\frac{DX}{dt}=0$.
\end{deff}

\begin{prop}
	Data una curva e una condizione iniziale $X(t_{0}) = v$ esiste un unico campo vettoriale $X$ parallelo
	che la soddifa, detto il trasporto parallelo di $v$ lungo $\sigma$.
\end{prop}

\begin{proof}
	Supponiamo che il risultato sia vero quando la traccia della curva sta in un aperto coordinato.

	Allora $X$ può essere definito in tutto un segmento $\sigma([t_{0},t_{1}])$ per ogni $t_{1}$
	perché questo per compattezza può essere ricoperto da un numero finito di aperti combinati,
	e sulle intersezioni le definizioni devono coincidere per unicità.

	Per dimostrare il risultato nel caso di $\sigma(I)\subset U$ supponiamo che il campo
	cercato esista e scriviamolo in coordinate locali:

	\[ 0 = \frac{DX}{dt} = \sum_{k}\left( \frac{d\alpha^{k}}{dt}+\sum_{i,j
	\frac{d\sigma^{i}}{dt}}\alpha^{j}\Gamma^{k}_{ij} \right) X_{k}\]

	dà un sistema di $d$ equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine nelle incognite
	$\alpha_{k}(t)$ con le condizioni iniziali $\alpha_{k}(9t_{0} = v_{k}$, che ha soluzione unica,
	quindi $X$ esiste, è unico ed è definito per tutti i tempi.
\end{proof}
\begin{lem}
	Il trasporto parallelo

	\[ _{\sigma}\|_{a}^{b}: T_{\sigma(a)}M \rightarrow T_{\sigma(b)}M \]

	è un isomorfismo lineare.
\end{lem}

\begin{proof}
	Dato che è lineare basta vedere che la sua inversa è data dal trasporto parallelo lungo la curva opposta.
\end{proof}

\begin{prop}
	Data una curva $\sigma$ che parte da $p$ con velocità $v$ possiamo recuperare
	la derivata covariante come derivata del trasporto parallelo:

	\[ \frac{D}{dt}\big|_{t=0}(X(\sigma(t))) =
	\lim_{t \rightarrow 0 }\frac{_{\sigma}\|_{t}^{0}(X(\sigma(t))-X(p))}{t}\]

\end{prop}

\begin{proof}
	Estendiamo una base di $T_{p}M$ a campi paralleli $X_{i}$. In questa base:

	\[ _{\sigma}\|_{t}^{0}(X(\sigma(t)))
	= \sum_{i} \alpha^{i}(t)\,_{\sigma}\|_{t}^{0}(X_{i}(t))
	= \sum_{i} \alpha^{i}v_{i}\]

	Allora

	\[ \lim_{t \rightarrow 0 }\frac{_{\sigma}\|_{t}^{0}(X(\sigma(t))-X(p))}{t}
	=	\lim_{t \rightarrow 0 }\frac{\sum_{i}(\alpha_i(\sigma(t))-\alpha_i(0))v_{i}}{t}
	= \sum_{i} \alpha_{i}'(0)v_{i}
	\]

	D'altra parte

	\[ \frac{D}{dt}\big|_{t=0}(X(\sigma(t))) =
	\sum_{i}\left( \alpha'(0)v_{i}+\alpha_{i}\frac{D}{dt}\big|_{t=0}X_{i} \right)
	= \sum_{i} \alpha'(0)v_{i}\]

\end{proof}

\begin{deff}
	La torsione di una connessione è il campo tensoriale di tipo $(1,2)$

	\[ T(X,Y) = \nabla_{X}Y-\nabla_{Y}X - [X,Y] \]

\end{deff}

\begin{ex}
	La derivata direzionale è una connessione senza torsione.
\end{ex}

\begin{nota}
	In coordinate locali, usando che i campi coordinati commutano, abbiamo

	\[ T(X_{i},X_{j}) = \nabla_{X_{i}}X_{j}-\nabla_{X_{j}}X_{i}
	= \sum_{k} (\Gamma_{ij}^{k}-\Gamma_{ji}^{k})X_{k}\]

\end{nota}

\begin{nota}
	Una connessione affine è senza torsione se e solo se parallelogrammi infinitesimali chiudono:
	della parentesi mi posso sempre fregare (mi sa che serve per renderlo un tensore)
	prendendo una base olonoma (localmente), per il resto
	la torsione misura la non commutatività del trasporto parallelo.
\end{nota}

\begin{deff}
	Una curva è una geodetica se $\frac{D\dot{\gamma}(t)}{dt} = 0 $, cioè è autoparallela, il che è
	equivalente a $\nabla_{\dot{\gamma}}\dot{\gamma} = 0$.
\end{deff}

\begin{deff}
	La curvatura di una connessione affine è il tensore di tipo $(1,3)$

	\[ R(X,Y)Z = \nabla_{Y}\nabla_{X}Z
	- \nabla_{X}\nabla_{Y}Z+\nabla_{[X,Y]}Z  \]

\end{deff}

\begin{nota}
	In coordinate locali si vede che la curvatura
	è un'ostruzione alla commutitatività delle derivate covarianti.
	\begin{align*}
		R(X_{i},X_{j})X_{k} &=
		(\nabla_{X_{j}}\nabla_{X_{i}}-
		\nabla_{X_{i}}\nabla_{X_{j}})X_{k} \\
		&= \nabla_{X_{j}}\left( \sum_{\ell}\Gamma_{ik}^{\ell}X_{\ell} \right)
		- \nabla_{X_{i}}\left( \sum_{\ell}\Gamma_{jk}^{\ell} X_{\ell}\right) \\
		&= \sum_{\ell}(\Gamma_{ik}^{\ell}\nabla_{X_{j}}X_{\ell}+X_{j}(\Gamma_{ik}^{\ell})X_{\ell})
		- \sum_{\ell}(\Gamma_{jk}^{\ell}\nabla_{X_{i}}X_{\ell}+X_{i}(\Gamma_{jk}^{\ell})X_{\ell}) \\
		&= \sum_{s,\ell}\Gamma_{ik}^{\ell}\Gamma_{j\ell}^{s}+
		\sum_{s}X_{j}(\Gamma_{ik}^{s})X_{s}
		- \sum_{s,\ell}\Gamma_{jk}^{\ell}\Gamma_{i\ell}^{s}+
		\sum_{s}X_{i}(\Gamma_{jk}^{s})X_{s}\\
		&= \sum_{s}\left( \sum_{\ell}(\Gamma_{ik}^{\ell}\Gamma_{j\ell}^{s}-\Gamma_{jk}^{\ell}\Gamma_{i\ell}^{s})
		+X_{j}(\Gamma_{ik}^{s})-X_{i}(\Gamma_{jk}^{s})\right) X_{s} \\
		&= \sum_{s}R_{ijk}^{s}X_{s}
	\end{align*}

\end{nota}

\begin{deff}
	Una superficie parametrizzata è un'inclusione di un insieme connesso il cui bordo è differenziabile a tratti
	con angoli ai vertici non piatti.
\end{deff}

\begin{prop}
	Dato un campo $Z$ lungo una superficie parametrizzata, posso derivarlo con le derivate covarianti
	in direzioni $x$ e $y$ lungo le immagini delle rette verticali e orizzontali di $\mathbb{R}^{2}$.

	Allora

	\[ \frac{D}{dx}\frac{D}{dy}Z -\frac{D}{dy}\frac{D}{dx}Z =
	R \left( \frac{\partial s}{\partial x},\frac{\partial s}{\partial y} \right) Z  \]

\end{prop}

\begin{proof}
	Usando le proprietà della derivata covariante si trova
	\begin{align*}
		\frac{D}{dx}\frac{D}{dy}Z -\frac{D}{dy}\frac{D}{dx}Z &= \sum z^{i}
		\left( \frac{D}{dx}\frac{D}{dy}X_{i} -\frac{D}{dy}\frac{D}{dx}X_{i} \right)\\
		\frac{D}{dx}\frac{D}{dy}X_{i} -\frac{D}{dy}\frac{D}{dx}X_{i} &=
		\sum_{j,k}\frac{\partial s_{j}}{\partial x}\frac{\partial s_{k}}{\partial y}
		R(X_{j},X_{k})X_{i}\\
		\frac{D}{dx}\frac{D}{dy}Z -\frac{D}{dy}\frac{D}{dx}Z &=
		\left(\sum_{j,k}z^{i}\frac{\partial s_{j}}{\partial x}\frac{\partial s_{k}}{\partial y}
		R(X_{j},X_{k})X_{i}\right) =
		R \left( \frac{\partial s}{\partial x},\frac{\partial s}{\partial y} \right) Z
	\end{align*}

\end{proof}

\begin{nota}
	La curvatura è un'ostruzione alla commutatività di trasporti paralleli lungo i bordi di
	rettangoli infinitesimali.
\end{nota}

\begin{proof}
	Prendiamo una carta locale con immagine tutto $\mathbb{R}^{d}$, e usiamola per
	includere un rettangolo $[0,x]\times[0,y]$ nella varietà come superficie parametrizzata.

	Per ogni $x_{0}\in[0,x]$ e $y_{0}\in[0,y]$ consideriamo le curve
	\begin{align*}
		\sigma_{x_{0}}(t) &= s(t,x_{0}) \\
		\sigma^{y_{0}}(t) &= s(t,y_{0})
	\end{align*}

	Sappiamo che

	\[ \left( \frac{D}{\partial x}Z \right)(0,y) =
	\lim_{x \rightarrow 0}
	\frac{_{(\sigma^{y})^{-1}}\|_{u}^{0}(Z(x,y))-Z(0,y)}{x}\]

	e
	\begin{align*}
		\left( \frac{D}{\partial y}\frac{D}{\partial x}Z \right)(0,0) &=
		\lim_{v \rightarrow 0}
		\frac{_{(\sigma_{0})^{-1}}\|_{y}^{0}\left(\left( \frac{D}{\partial x}Z \right)(0,y)\right)-
		\left( \frac{D}{\partial x} Z \right)(0,0)}{y}\\
		&= \lim_{y \rightarrow 0} \frac{1}{y}
		\left(
		_{(\sigma_{0})^{-1}}\|_{y}^{0}
		\Bigg(
		\lim_{x \rightarrow 0}
		\frac{_{(\sigma^{y})^{-1}}\|_{u}^{0}(Z(x,y))-Z(0,y)}{x}
		\right) \\
		&-\lim_{x \rightarrow 0} \frac{_{(\sigma^{y})^{-1}}\|_{u}^{0}(Z(x,0))-Z(0,0)}{x}
		\Bigg) \\
		&= \lim_{y \rightarrow 0} \frac{1}{y}
		\Bigg( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}
		\left( \left( _{(\sigma_{0})^{-1}} \|_{y}^{0}\circ _{(\sigma^{y})^{-1}}\|_{u}^{0} \right)
		(Z(x,y))- _{(\sigma_{0})^{-1}}\|_{y}^{0}(Z(0,v))\right) \\
		&-\lim_{x \rightarrow 0} \frac{_{(\sigma^{y})^{-1}}\|_{u}^{0}(Z(x,0))-Z(0,0)}{x}
		\Bigg)
	\end{align*}

	E allo stesso modo
	\begin{align*}
		\left( \frac{D}{\partial x}\frac{D}{\partial y}Z \right)(0,0) &=
		\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}
		\Bigg( \lim_{y \rightarrow 0} \frac{1}{y}
		\left( \left( _{(\sigma^{0})^{-1}} \|_{x}^{0}\circ _{(\sigma_{y})^{-1}}\|_{u}^{0} \right)
		(Z(x,y))- _{(\sigma^{0})^{-1}}\|_{x}^{0}(Z(x,))\right) \\
		&-\lim_{y \rightarrow 0} \frac{_{(\sigma_{x})^{-1}}\|_{u}^{0}(Z(0,y))-Z(0,0)}{y}
		\Bigg)
	\end{align*}

	Sottraendo una all'altra otteniamo

	\[ \left( R \left( \frac{\partial s}{\partial x}, \frac{\partial s}{\partial y} Z \right)(0,0) \right)
	= \lim_{x,y \rightarrow 0} \frac{1}{x,y}
	\left( _{(\sigma_{0})^{-1}}\|_{y}^{0}\circ _{(\sigma^{y})^{-1}}\|_{x}^{0}
	-\,_{(\sigma^{0})^{-1}}\|_{x}^{0}\circ _{(\sigma_{x})^{-1}}\|_{y}^{0}\right)
	Z(x,y)\]

\end{proof}

\subsection{Metriche riemanniane}

\begin{deff}
	Una metrica Riemanniana è un tensore simmetrico di tipo $(0,2)$ definito positivo.

	In carte locali:

	\[ g\Big|_{U} = g_{ij}dx^{i}\wedge dx^{j} = ds^{2}\]

\end{deff}

\begin{deff}
	Un diffeomorfismo si dice isometria se $g = \psi^{*}h$.
\end{deff}

\begin{nota}
	Il gruppo delle isometrie di una varietà riemanniana, dotato della topologia compatto-aperto,
	è un gruppo di Lie, non necessariamente connesso, di dimensione al più $\binom{d+1}{2}$.
\end{nota}

\begin{deff}
	Una mappa $C^{\infty}$ è un'isometria locale in $p$ se ristretta ad un intorno è un'isometria
	con la sua immagine.
\end{deff}

\begin{ex}
	La metrica euclidea ha componenti $g_{ij} = \delta_{ij}$.
\end{ex}

\begin{ex}
	Scelto $r$, la metrica iperbolica sul semipiano superiore di $\mathbb{R}^{d}$
	ha componenti $(g_{r})_{ij} = \frac{r^{2}}{x^{2}_{d}\delta_{ij}}$.
	Questa varietà riemanniana è il semipiano iperbolico di parametro $r$.
\end{ex}

\begin{ex}
	Ogni inclusione permette di portare indietro la metrica dello spazio ambiente.

	La sfera con la metrica pullback si dice sfera rotonda.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il prodotto di due varietà riemanniane è una varietà riemanniana con la somma delle norme
	portate indietro con le proiezioni.

	Il toro $T^{n} = (S^{1})^{n}$ con questa metrica (quella di $S^{1}$ è quella rotonda) si dice toro piatto.
\end{ex}
\begin{prop}
	Ogni varietà differenziale ammette una metrica riemanniana.
\end{prop}

\begin{proof}
	Dato un ricoprimento localmente finito di aperti coordinati,
	definiamo una metrica su ciascuna pezza portando indietro quella euclidea con la carta locale.
	Sommando tutte queste metriche pesate con una partizione dell'unità subordinata
	al ricoprimento si ottiene una metrica.
\end{proof}

\begin{nota}
	Gli isomorfismi musicali permettono di identificare campi vettoriali e 1-forme:
	\begin{align*}
		X^{\flat}(Y) &= g(X,Y) \\
		\alpha(X) &= g(\alpha^{\sharp},X)
	\end{align*}

	Per esempio il gradiente di una funzione è in realtà $(df)^{\sharp}$.

	In generale la metrica permette di abbassare di uno l'indice contravariante e alzare di 1
	quello covariante.
\end{nota}

\begin{deff}
	La lunghezza di un segmento di una curva è

	\[ \ell_{a}^{b}(\sigma) = \int_{a}^{b}|\sigma'(t)|dt \]

	dove $|\sigma'(t)| = g(\sigma'(t),\sigma'(t))^{1/2}$ è la velocità di $\sigma$.
\end{deff}

\begin{deff}
	L'angolo tra due vettori tangenti ad un punto è

	\[ \measuredangle(v,w) = \frac{g_{p}(v,w)}{|v||w|} \]

\end{deff}

\begin{nota}
	Scelta una carta locale dove i vettori coordinati formano una base positiva in ogni punto,
	le componenti del tensore metrico si possono scrivere usando i coefficienti
	dei vettori coordinati su una base ortornormale $X_{i}(p) = \sum_{j}a_{i}^{j}e_{j}$:

	\[ g_{ij}(p) = g_{p}(X_{i}(p),X_{j}(p))
	= \sum_{k,l} a_{i}^{k}a_{j}^{\ell}g_{p}(e_{k},e_{\ell}) =
	\sum_{k} a_{i}^{k}a_{k}^{j}\]
	Il volume del parallelepipedo formato dai campi coordinati è uguale a $\dett(a_{i}^{j}) =
	\sqrt{\dett(g_{ij}(p))}$, ma in un altra carta locale diventa $J\sqrt{\dett(\tilde{g}_{ij}(p))}$
	dove

	\[ J = \dett \left( \frac{\partial(y^{i}\circ\varphi^{-1})}{\partial x^{j}}(p)_{ij} \right) \]

\end{nota}

\begin{deff}
	Il volume riemanniano di un sottoinsieme aperto connesso a chiusura compatta e bordo trascurabile,
	che prendiamo contenuto nel dominio di una carta locale, è

	\[ \vol(R) \int_{\varphi(R)}\sqrt{\dett(g_{ij})}dx^{1}\dots dx^{d} \]

\end{deff}

\begin{nota}
	Il teorema del cambio di variabile mostra che la formula non dipende dalla scelta della carta locale.

	Per definire il volume di una regione non contenuta nel dominio di una carta locala usiamo una
	partizione dell'unità.
\end{nota}

\begin{nota}
	Una metrica riemanniana fornisce una forma di volume.
\end{nota}

\subsection{La connessione di Levi-Civita}

\begin{deff}
	Una connessione affine è metrica se

	\[ X(g(Y,Z)) = g(\nabla_{X}Y,Z)+g(Y,\nabla_{Y}Z) \]

	nel senso che se no ti aspetteresti anche il termine $\nabla_{X}(g)(Y,Z)$ dalla regola del prodotto.
\end{deff}

\begin{ex}
	La derivata direzionale è metrica.
\end{ex}

\begin{prop}
	Sono equivalenti:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Una connessione affine è metrica
		\item La distanza tra campi vettoriali paralleli lungo ogni curva è costante
		\item Il terzo termine sparisce anche lungo una curva:

			\[ \frac{d}{dt}g\left(X,Y\right) = g\left(\frac{DX}{dt},Y\right)+g\left(X,\frac{DY}{dt}\right) \]

	\end{enumerate}

\end{prop}

\begin{proof}
	(i)$\implies$(ii)
	\begin{align*}
		\frac{d}{dt}g(P,P')&= \sigma'(t)(g(P,P')) =
		g(\nabla_{\sigma'(t)P,P'}) + g(P,\nabla_{\sigma'(t)}P') \\
		&= g \left( \frac{DP}{dt},P' \right) + g \left( P,\frac{DP'}{dt} \right) = 0
	\end{align*}

	(ii)$\implies$(iii) Scelta una base ortonormale di $T_{\sigma(t_{0})}M$ possiamo estenderla
	per trasporto parallelo a una base ortonormale lungo tutta la curva.
	Scrivendo $X = \alpha^{i}P_{i}$ e $Y = \beta^{i}P_{i}$ le derivate covarianti sono semplicemente
	\begin{align*}
		\frac{DX}{dt} &= \frac{d\alpha^{i}}{dt}P_{i}  \\
		\frac{DY}{dt} &= \frac{d\beta^{i}}{dt}P_{i}
	\end{align*}

	Ma allora

	\[ g \left( \frac{DX}{dt},Y \right) + g \left( X,\frac{DY}{dt} \right)
	= \sum_{i} \left( \frac{d\alpha^{i}}{dt}\beta^{i}+\alpha^{i}\frac{d\beta^{i}}{dt} \right)
	= \frac{d}{dt}\sum_{i} \alpha^{i}\beta^{i} = \frac{d}{dt}(X,Y)\]

\end{proof}

(iii)$\implies$(i) Scelto un punto prendiamo una curva che parte dal punto
con velocità iniziale $X(p)$. Allora
\begin{align*}
	X(p)g(Y,Z) &= \frac{d}{dt}g(Y,Z)\Big|_{t=t_{0}} = g_{p} \left( \frac{DY}{dt}(t_{0},Z(t_{0})) \right)
	+ g_{p} \left( Y(t_{0}),\frac{DZ}{dt}(t_{0}) \right) \\
	&= g_{p}(\nabla_{X(p)}Y,Z(t_{0})) + g_{p}(Y(t_{0}),\nabla_{X(p)}Z)
\end{align*}

\begin{lem}[Lemma fondamentale della geometria riemanniana]
	Su ogni varietà riemanniana esiste un unica connessione riemanniana, cioè metrica senza torsione, chiamata
	connessione di Levi-Civita.
\end{lem}

\begin{proof}
	Come al solito, supponendo che tale connessione esista abbiamo
	\begin{align*}
		X(g(Y,Z)) &= g(\nabla_{X}Y,Z)+g(Y,\nabla_{Y}Z) \\
		Y(g(Z,X)) &= g(\nabla_{Y}Z,X)+g(Z,\nabla_{Z}X) \\
		Z(g(X,Y)) &= g(\nabla_{Z}X,Y)+g(X,\nabla_{X}Y)
	\end{align*}

	Sommando le prime due e sottraendo la terza otteniamo
	\begin{align*}
		X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))-Z(g(X,Y)) &= g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X)+g([X,Y],Z) \\
		&+2g(Z,\nabla_{Y}X)
	\end{align*}

	dunque
	\begin{align*}
		g(Z,\nabla_{Y}X) &= \frac{1}{2}(X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))-Z(g(X,Y))  \\
		&- g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X)-g([X,Y],Z))
	\end{align*}

	Che strano, $\nabla$ è univocamente determinata. Allora la definiamo così.
\end{proof}
\begin{cor}
	Su una varietà riemanniana si può canonicamente
	\begin{itemize}
		\item derivare campi vettoriali
		\item parlare di parallelismo
		\item parlare di geodesiche
		\item parlare di curvatura
	\end{itemize}

\end{cor}

\begin{ex}
	Dato che la derivata direzionale è metrica e senza torsione è la connessione di Levi-Civita.
\end{ex}

\begin{nota}
	Poiché i campi coordinati commutano, l'espressione dei simboli
	di Christoffel in coordinate locali si ricava moltiplicando per la metrica inversa
	\begin{align*}
		\Gamma_{ij}^{\ell}g_{\ell k} &= \frac{1}{2}(X^{i}(g_{jk})+X^{j}(g_{ki})-X^{k}(g_{ij}))  \\
		\Gamma_{ij}^{m}&= \frac{1}{2}(X^{i}(g_{jk})+X^{j}(g_{ki})-X^{k}(g_{ij})) g^{km}
	\end{align*}

\end{nota}

\begin{ex}
	Essendo i coefficienti della metrica euclidea costanti, i simboli di Christoffel sono nulli.
\end{ex}

\begin{ex}
	Calcoliamo i simboli di Christoffel della metrica euclidea in coordinate polari.
	Sappiamo già che
	\begin{align*}
		\Phi^{*}(dx) &=
		\cos \vartheta d\rho - \rho \sin \vartheta d\vartheta \\
		\Phi^{*}(dy) &=
		\sin \vartheta d\rho + \rho \cos \vartheta d\vartheta \\
	\end{align*}

	Pertanto

	\[ 		\Phi^{*}g = \Phi^{*}(dx^{2}+dy^{2}) = d\rho^{2}+\rho^{2}d\vartheta^{2} \]

	quindi la matrice della metrica è

	\[ g = \begin{pmatrix}
		1 & 0 \\
		0 & \rho^{2}
	\end{pmatrix} \]

	Usando la formula si vede che gli unici simboli di Christoffel non nulli sono
	$\Gamma_{\rho\vartheta}^{\vartheta} = \Gamma_{\vartheta\rho}^{\vartheta} = \frac{1}{\rho}$ e
	$\Gamma_{\vartheta\vartheta}^{\rho} = -\rho$.
\end{ex}

\begin{prop}
	La connessione di Levi-Civita di $g = \iota^{*}\tilde{g}$ è la proiezione ortogonale
	sullo spazio tangente alla sottovarietà della connessione della varietà ambiente.
\end{prop}

\begin{proof}
	Denotiamo con $\tilde{Z}_{\parallel}$ la proiezione sullo spazio tangente alla varietà
	di un campo $\tilde{Z}$ estensione su un aperto della varietà ambiente di $Z$.

	$\nabla$ è metrica:
	\begin{align*}
		X(g(Y,Z))(p) &= \tilde{X}(\tilde{g}(\tilde{Y},\tilde{Z}))(p)  \\
		&= \tilde{g}(\tilde{\nabla}_{\tilde{X}}\tilde{Y},\tilde{Z})+
		\tilde{g}(\tilde{Y},\tilde{\nabla}_{\tilde{X}}\tilde{Z})\\
		&= \tilde{g}(\tilde{\nabla}_{\tilde{X}}\tilde{Y},{Z})+
		\tilde{g}({Y},\tilde{\nabla}_{\tilde{X}}\tilde{Z})\\
		&= \tilde{g}({\nabla}_{{X}}{Y},{Z})+
		\tilde{g}({Y},{\nabla}_{{X}}{Z})\\
		&= {g}({\nabla}_{{X}}{Y},{Z})+
		{g}({Y},{\nabla}_{{X}}{Z})\\
	\end{align*}

	Inoltre $\nabla$ è senza torsione, infatti

	\[ (\nabla_{X}Y-\nabla_{Y}X)(p) =
	(\tilde{\nabla}_{\tilde{X}}\tilde{Y}-\tilde{\nabla}_{\tilde{Y}}\tilde{X})_{\parallel} (p)
	= [\tilde{X},\tilde{Y}]_{\parallel} (p) = [X,Y](p)\]

	dato che l'inclusione correla le due coppie di campi.
\end{proof}

\subsection{Geodetiche}

\begin{prop}
	Le geodetiche hanno velocità costante.
\end{prop}

\begin{proof}

	\[ \frac{d}{dt}|\dot{\gamma}(t)|^{2} = \frac{d}{dt}g(\dot{\gamma}(t),\dot{\gamma}(t)) = 2g
	\left( \frac{D}{dt}(\dot{\gamma}(t)),\dot{\gamma}(t) \right) = 0 \]

\end{proof}

\begin{nota}
	$\sigma(t) = (t^{3},t^{3})$ non è una geodetica perché non ha velocità costante, ma è una pregeodetica.
\end{nota}

\begin{ex}
	Mostriamo che ogni cerchio massimo della sfera rotonda $S^{d}_{r}$, ovvero
	una sua intersezione con un 2-piano di $\mathbb{R}^{d+1}$,  è una geodetica,
	se ha velocità costante.

	Un tale piano è determinato da due vettori ortogonali $p,v$ e il cerchio massimo è
	\begin{align*}
		\gamma(t) &= p\cos t + v \sin t \\
		\dot{\dot{\gamma}}(t) &= -p\cos t - v\sin t = -\gamma(t)
	\end{align*}

	Dato che l'accelerazione della curva è ortogonale alla sfera, la derivata
	covariante del vettore velocità è nulla nella connessione di Levi-Civita
	della sfera.
\end{ex}

\begin{nota}
	In coordinate locali una curva è una geodetica se e solo se

	\[ 0 = \frac{D}{dt}(\dot{\gamma}(t))
	= \sum_{k} \left( \frac{d^{2}\gamma^{k}}{dt^{2}}+
	\sum_{i,j} \Gamma_{ij}^{k} \frac{d\gamma^{i}}{dt}\frac{d\gamma^{j}}{dt}\right)
	\frac{\partial}{\partial x^{k}}\]

	il che dà un sistema di $d$ equazioni differenziali non lineari del secondo ordine.

	Per renderlo un sistema di $2d$ equazioni del primo ordine interpretiamola
	come l'equazione di una curva integrale di un campo vettoriale su $TM$.

	Ogni curva può essere sollevata ad una curva sul fibrato tangente aggiungendole
	le componenti della sua velocità. Questo permette di riscrivere il sistema come
	\[
		\begin{cases}
			\frac{d\gamma^{k}}{dt} = \dot{\gamma}^{k}(t) \\
			\frac{d\dot{\gamma}^{k}}{dt} = -\sum_{i,j} \Gamma_{ij}^{k}
			\frac{d\gamma^{i}}{dt}\frac{d\gamma^{j}}{dt}
		\end{cases}
	\]

\end{nota}

\begin{lem}
	Esiste un unico campo sul fibrato tangente di una varietà riemanniana,
	detto campo geodetico, le cui curve integrali sono il sollevamento
	a $TM$ delle geodetiche.
\end{lem}

\begin{proof}
	Se il campo esiste è unico, perché è soluzione di equazione differenziale,
	e per dimostrare che esiste possiamo definirlo localmente come sopra.
	Dall'unicità segue che è ben definito ovunque.
\end{proof}
\begin{cor}
	Per ogni punto esistono uniche le curve integrali del campo geodetico
	definite per un suo intorno di posizioni iniziali, una sfera centrata
	in 0 di velocità iniziali e un intervallo di tempi $(-\varepsilon,\varepsilon)$
	a dipendenza $C^{\infty}$ dalle condizioni iniziali.

	\[ \psi: (-\varepsilon,\varepsilon)\times
	\{(q,v)\in TM \, | \, q\in V, v \in T_{p}M, |v|<\delta_{1}\}
	\rightarrow \pi^{-1}(U)\]

\end{cor}

\begin{proof}
	Teorema grosso sui campi vettoriali.
\end{proof}

\begin{prop}
	Per ogni punto esistono uniche le geodetice definite per un suo intorno
	di posizioni iniziali, una sfera centrata in 0 di velocità iniziali
	e un intervallo di tempi $(\varepsilon,\varepsilon)$ a dipendenza
	$C^{\infty}$ dalle condizioni iniziali.
\end{prop}

\begin{ex}
	I cerchi massimi opportunamente parametrizzati sono evidentemente
	tutte e sole le geodetiche della sfera rotonda.
\end{ex}

\begin{lem}[di omogeneità]
	Ogni geodetica $\gamma(t,q,v)$ definita in $t\in(-\varepsilon,\varepsilon)$
	può essere vista come una geodetica di velocità $av$ definita per
	$t\in \left( -\frac{\varepsilon}{a},\frac{\varepsilon}{a} \right)$
\end{lem}

\begin{prop}
	Se non mi importa della velocità iniziale posso avere geodetiche definite
	per $t\in(2,2)$.
\end{prop}

\begin{proof}
	$\gamma(t,q,v) \rightarrow \gamma(t,q,\varepsilon v/2)$.
\end{proof}

\begin{nota}
	Volendo potevamo rendere la velocità uniformemente grande.
\end{nota}

\begin{deff}
	La mappa esponenziale sugli intorni aperti di $(p,0)\in TM$ come sopra
	associa ad una coppia di condizioni iniziali il punto raggiunto a $t=1$:

	\[ \exp(q,w) = \gamma(1,q,w) \]

\end{deff}

\begin{prop}
	$\exp_{q}(w) = \exp(q,w)$ è un diffeomorfismo locale tra un intorno dell'origine
	in $T_{q}M$ e un intorno di $q$.
\end{prop}

\begin{proof}
	Si può applicare il teorema della funzione inversa sapendo che

	\[ d(\exp_{q})_{0}(v) =
	\frac{d}{dt}\Big|_{t=0} (\exp_{q}(tv)) =
	\frac{d}{dt}\Big|_{t=0} (\gamma(1,q,tv)) =
	\frac{d}{dt}\Big|_{t=0} (\gamma(t,q,v)) = v\]

\end{proof}

\begin{deff}
	Una varietà riemanniana è geodeticamente completa se tutte le geodetiche
	sono definite per tutti i tempi.
\end{deff}

\begin{ex}
	Nello spazio euclideo le geodetiche sono le rette a velocità costante
	e sono definite per tutti i tempi, quindi $\mathbb{R}^{d}$ è geodeticamente
	completo. La mappa esponenziale è
	l'identificazione $T_{p}\mathbb{R}^{d}\cong \mathbb{R}^{d}$.
\end{ex}

\begin{ex}
	La sfera rotonda è geodeticamente completa e la mappa esponenziale
	identifica iniettivamente un disco aperto di raggio $\pi r$
	con la sfera stessa meno il punto antipodale.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il semipiano iperbolico è geodeticamente completo.
\end{ex}

\begin{deff}
	Il tensore di curvatura di Riemann è la curvatura della connessione di Levi-Civita.
\end{deff}

\begin{teo}
	Le isometrie preservano il tensore di curvatura.
\end{teo}

\begin{proof}
	Basta usare la formula in coordinate locali.
\end{proof}

\begin{prop}
	Abbassando un indice si può definire il tensore di Riemann in forma completamente
	covariante:

	\[ \tilde{R} (X,Y,Z,T) = g(R(X,Y),Z,T) \]

	che ha le stesse simmetrie di $\varepsilon_{\alpha\beta\gamma}\varepsilon_{\alpha\mu\nu}$,
	cioè $\tilde{R} \in S^{2}(\Lambda^{2}(M)\otimes\Lambda^{2}(M))$.

	Dà inoltre per ogni coppia $(X,Y)$ una mappa $C^{\infty}$-bilineare antisimmetrica
	\begin{align*}
		\mathfrak{X}(M)\otimes\mathfrak{X}(M) &\rightarrow C^{\infty}(M)   \\
		(Z,T) &\mapsto \tilde{R}(X,Y,Z,T)
	\end{align*}

\end{prop}
\begin{proof}
	L'identità di Bianchi e l'antisimmetria nelle prime due variabili discendono
	dalle proprietà del commutatore di campi vettoriali.

	L'antisimmetria nelle ultime due variabili equivale a
	\begin{align*}
		\tilde{R}(X,Y,Z,Z) &=
		g(\nabla_{X}\nabla_{X}Z-\nabla_{X}\nabla_{Y}Z+\nabla_{[X,Y]}Z,Z)\\
		&= Yg(\nabla_{X}Z,Z)-g(\nabla_{X}Z,\nabla_{Y},Z)
		-Xg(\nabla_{Y}Z,Z)+g(\nabla_{Y}Z,\nabla_{X}Z)+\frac{1}{2}[X,Y](g(Z,Z))\\
		&= \frac{1}{2}Y(X(g(Z,Z))) - \frac{1}{2}X(Y(g(Z,Z)))
		+\frac{1}{2}[X,Y](g(Z,Z))\\
		&= 0
	\end{align*}

	dove si è usata la metricità della connessione.

	La simmetria nei due blocchi si ottiene sommando tutte le possibili identità di Bianchi
	e cancellando i termini antisimmetrici.
\end{proof}

\begin{nota}
	In componenti:

	\[ \tilde{R}_{ijkl} = R_{ijk}^{s}g_{sl} \]
	Il tensore di Riemann in forma covariante di una 2-varietà riemanniana ha un'unica
	componente non nulla, $\tilde{R}_{1212}$, che coincide con la curvatura di Gauss della superficie.
\end{nota}

\subsection{Curvatura sezionale e forme spaziali}
\begin{deff}
	In uno spazio vettoriale a prodotto interno denotiamo con

	\[ 	|v\wedge w| = \sqrt{|v||w|-\langle v,w \rangle} \]

	l'area del parallelogramma determinato da $v$ e $w$.
\end{deff}

\begin{lem}
	Data una base ${v,w}$ di un sottospazio $\sigma\subset T_{p}M$ di dimensione 2,
	la sua curvatura sezionale

	\[ K(v,w) = \frac{\tilde{R}(v,w,v,w)}{|v\wedge w|} \]

	non dipende dalla base ed è quindi ben definita.
\end{lem}

\begin{proof}
	Possiamo passare da una base all'altra mediante mosse di Gauss,
	che lasciano la curvatura sezionale inalterata.
\end{proof}

\begin{lem}
	Dati due tensori 4-covarianti con simmetrie del tensore di Riemann $\tilde{R}$ e $\tilde{R}'$,
	se per ogni $\sigma\subset T_{p}M$ le due curvature sezionali indotte
	coincidono, allora $\tilde{R}=\tilde{R}'$.
\end{lem}

\begin{proof}
	\begin{align*}
		\tilde{R}(v,w,v,w) &= \tilde{R}'(v,w,v,w)\\
		\tilde{R}(v+z,w,v+z,w) &= \tilde{R}'(v+z,w,v+z,w)\\
		\tilde{R}(v,w,z,w) &= \tilde{R}'(v,w,z,w)\\
		\tilde{R}(v,w+t,z,w+t) &= \tilde{R}'(v,w+t,z,w+t)\\
		\tilde{R}(v,w,z,t)+\tilde{R}(v,t,z,w) &= \tilde{R}'(v,w,z,t)+\tilde{R}'(v,t,z,w) \\
		\tilde{R}(v,w,z,t)-\tilde{R}'(v,w,z,t) &= \tilde{R}(w,z,v,t,) -\tilde{R}'(w,z,v,t)
	\end{align*}

	Le ultime due dicono che $\tilde{R}-\tilde{R}'$ è invariante per permutazioni cicliche
	dei primi tre argomenti. Per l'identità di Bianchi:

	\[ 3(\tilde{R}-\tilde{R}') = 0 \]

	da cui la tesi.
\end{proof}

\begin{deff}
	Una varietà riemanniana ha curvatura sezionale costante se per ogni punto
	ogni $\sigma$ ha la stessa curvatura sezionale.
\end{deff}

\begin{prop}
	Una varietà riemanniana ha curvatura sezionale costante se e solo per ogni punto
	e vettori tangentigli

	\[ \tilde{R}(v,w,z,t) = K_{0}(g_{p}(v,z)g_{p}(w,t)-g_{p}(w,z)g_{p}(v,t)) \]

\end{prop}

\begin{deff}
	Questo tensore 4-covariante ha le simmetrie del tensore di Riemann.
\end{deff}

\begin{cor}
	Scelta una base ortonormale in un punto, la curvatura sezionale è
	costante in quel punto se e solo se

	\[ \tilde{R}_{ijkl} = K_{0}(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk}) \]

	vale a dire $ \tilde{R}_{ijij} = -\tilde{R}_{ijji} = K0$ e $\tilde{R}_{ijkl} = 0$ altrimenti.
\end{cor}

\begin{ex}
	Mostriamo che la sfera rotonda ha curvatura sezionale costante $K_{0} = \frac{1}{r^{2}}$.
	Questo mostra che nessuna porzione della sfera è isometrica a una porzione dello spazio euclideo.

	Il campo normale $N(p) = p/r$ è ortogonale a $T_{p}S^{d}_{s}$ in ogni punto, e ha norma unitaria,
	pertanto lo possiamo usare per proiettare la connessione dello spazio ambiente sulla sfera:

	\[ \nabla_{X}Y = X(Y)-g_{e}(X(Y),N)N \]

	Siccome $Y\perp N$

	\[ 0 = X(g_{e}(Y,N)) = g(X(Y),N)+g(Y,X(N)) \]

	ma siccome $X(N) = dN(X) = dI(X)/r = X/r$ abbiamo

	\[ g_{e}(X(Y),N) = -\frac{1}{r}g(X,Y)N \]

	Cioè la connessione è

	\[ \nabla_{X}Y = X(Y)+\frac{1}{r}g_{e}(X,Y)N \]

	La curvatura è quindi
	\begin{align*}
		R(X,Y)Z &= \nabla_{Y}\nabla_{X}Z-\nabla_{X}\nabla_{Y}Z+\nabla_{[X,Y]}Z \\
		&= \nabla_{Y}\left( X(Z)+\frac{1}{r}g_{e}(X,Z)N \right) \\
		&- \nabla_{X}\left( Y(Z)+\frac{1}{r}g_{e}(Y,Z)N \right) \\
		&+[X,Y](Z)+\frac{1}{r}g_{e}([X,Y],Z)N\\
		&= Y(X(Z))+\frac{1}{r}Y(g_{e}(X,Z)N)+\frac{1}{r}g_{e}(Y,\nabla_{X}Z)N \\
		&- X(Y(Z))-\frac{1}{r}X(g_{e}(Y,Z)N)-\frac{1}{r}g_{e}(X,\nabla_{Y}Z)N \\
		&+[X,Y](Z)+\frac{1}{r}g_{e}([X,Y],Z)N\\
		&= \frac{1}{r}(g_{e}(\nabla_{Y}X,Z)+g_{e}(X,\nabla_{Y}Z))N +
		\frac{1}{r}g_{e}(X,Z)Y(N)\\
		&+\frac{1}{r}g_{e}(Y,\nabla_{X}Z)N \\
		&- \frac{1}{r}(g_{e}(\nabla_{X}Y,Z)-g_{e}(Y,\nabla_{X}Z))N -
		\frac{1}{r}g_{e}(Y,Z)X(N)\\
		&-\frac{1}{r}g_{e}(X,\nabla_{Y}Z)N \\
		&+\frac{1}{r}g_{e}([X,Y],Z)N
	\end{align*}

	e quindi

	\[ \tilde{R}(X,Y,Z,T) = g(R(X,Y),Z,W) = \frac{1}{r^{2}}(g(X,Z)g(Y,W)-g(Y,Z)g(X,W)) \]

	da cui la tesi.
\end{ex}

\begin{nota}
	Il semipiano iperbolico ha curvatura sezionale costante $K_{0} = -\frac{1}{r^{2}}$.
\end{nota}

\begin{deff}
	Una forma spaziale è una varietà riemanniana geodeticamente completa di curvatura sezionale costante.
\end{deff}

\begin{teo}[Killing-Hopf]
	Ogni forma spaziale semplicemente connessa di curvatura sezionale costante è isometrica a:
	\begin{itemize}
		\item lo spazio euclideo se è piatta
		\item la sfera rotonda se ha curvatura positiva
		\item lo spazio iperbolico se ha curvatura negativa
	\end{itemize}

\end{teo}
\section{Geometria simplettica}
\subsection{Algebra lineare}

\begin{deff}
	Una forma simplettica su uno spazio vettoriale è una 2-forma antisimmetrica non degenere, cioè
	che se $\omega(v,w) = 0$ per ogni $w$ allora $v = 0$.
\end{deff}

\begin{nota}
	Dal fatto che non sia degenere otteniamo un isomorfismo canonico $V \rightarrow V^{*},
	v \mapsto \iota_{v}w$, e inoltre che $V$ è di dimensione pari,
	perché se $\Omega_{ij} = \omega(e_{i},e_{j})$

	\[ \dett \Omega = \dett -\Omega^{t} = (-1)^{k}\dett\Omega^{t} = (-1)^{k}\dett \Omega \]

\end{nota}

\begin{ex}
	L'archetipo è $\mathbb{R}^{2d}$ con la forma

	\[ \omega_{0} = \sum_{i} e^{2i-1}\wedge e^{2i} \]

	e quindi la matrice associata ad $\omega_{0}$ è

	\[ \Omega_{0} = \diag \left(
	\begin{pmatrix}
		0 & -1\\
		1 & 0
	\end{pmatrix}
	,\dots,
	\begin{pmatrix}
		0 & -1\\
		1 & 0
	\end{pmatrix}
	\right) \]

	$\omega_{0}^{d} = d! e^{1}\wedge e^{2d}$ è una forma di volume.
\end{ex}

\begin{ex}
	Dato uno spazio vettoriale $W$ lo spazio $W \oplus W^{*}$ con la forma

	\[ \omega((u,\varphi),(w,\psi))  = \psi(u)-\varphi(w)\]

	è uno spazio vettoriale simplettico.
\end{ex}

\begin{deff}
	L'ortogonale simplettico di un sottoinsieme è

	\[ W^{\omega} = \{v\in V \,| \, \omega(v,w) = 0 \; \forall \, w \in W \} \]

\end{deff}

\begin{lem}
	Per ogni sottospazio $\dim W + \dim W^{\omega} = \dim V$
\end{lem}

\begin{proof}
	L'isomorfismo nel duale identifica $W^{\omega}$ con l'annullatore di $W$.
\end{proof}

\begin{deff}
	Un sottospazio si dice
	\begin{itemize}
		\item simplettico se è disgiunto dal suo ortogonale
		\item isotropo se è contenuto strettamente nel suo ortogonale
		\item lagrangiano se coincide con il suo ortogonale
	\end{itemize}

	Segue dal lemma che un sottospazio è lagrangiano se e solo se $\dim W = \frac{1}{2}\dim V$ e
	$\omega\Big|_{W} = 0$.
\end{deff}

\begin{deff}
	Una base simplettica è una base per cui
	\begin{align*}
		\omega(q_{i},q_{j}) &= 0 \\
		\omega(p_{i},p_{j}) &= 0 \\
		\omega(q_{i},p_{j}) &= \delta_{ij} \\
	\end{align*}

	Si chiama simplettica perché i $\langle q_{i},p_{i} \rangle$ sono sottospazi simplettici.
\end{deff}

\begin{teo}
	Ogni spazio vettoriale simplettico ammette una base simplettica.
\end{teo}

\begin{proof}
	Dato $q_{1}$ troviamo un $\tilde{p}_{1}$ per cui $\omega(q_{1},\tilde{p}_{1})\neq 0$.

	Poniamo

	\[ p_{1} = \frac{\tilde{p}_{1}}{\omega(q_{1},\tilde{p}_{1})} \]

	Il sottospazio generato è simplettico perché da una combinazione di $q_{1}$ e $p_{1}$
	posso estrarre i coefficienti moltiplicando simpletticamente per $p_{1}$ e $-q_{1}$.

	Ripetendo il procedimento si ottiene una base simplettica.
\end{proof}
\begin{deff}
	Un isomorfismo lineare è un simplettomorfismo lineare se porta indietro una forma sull'altra.
\end{deff}

\begin{cor}
	Ogni spazio vettoriale simplettico è linearmente simplettomorfo a $(\mathbb{R}^{2d},\omega_{0})$.
\end{cor}

\begin{proof}
	In una base simplettica

	\[ \omega = q^{1} \wedge p^{1} + \dots q^{d}\wedge p^{d} \]

	Il simplettomorfismo è dato da
	\begin{align*}
		\psi(q_{i}) &= e_{2i-1} \\
		\psi(p_{i}) &= e_{2i}
	\end{align*}

\end{proof}

\begin{cor}
	Una 2-forma antisimmetrica è non degenere se e solo se $\omega^{d} \neq 0$.
\end{cor}

\begin{proof}
	Se $v$ è un vettore degenere per $\omega$, $\omega^{d}$ si annulla su una base contenente $v$.

	Se $\omega$ è non degenere $\omega^{d} = \psi^{*}(\omega_{0}^{d})$ è una forma di volume.
\end{proof}

\subsection{Varietà}
\begin{deff}
	Una forma simplettica su una varietà differenziale è una 2-forma chiusa non degenere.
\end{deff}
\begin{nota}
	La varietà ha dimensione pari, e $\omega$ fornisce un isomorfismo musicale
	e una forma di volume $\omega^{d}$, perciò la varietà è orientabile.
\end{nota}

\begin{nota}
	Se la varietà è compatta, $\omega$ non può essere esatta, perché se fosse $\omega = d\tau$
	avremmo una forma di volume esatta $\omega^{d} = d(\tau\wedge \omega^{d-1})$, assurdo.
	Pertanto il secondo gruppo di coomologia di de Rham di una variatà simplettica compatta non è banale.

	In particolare, l'unica sfera che ammette una struttura simplettica è $S^{2}$.
\end{nota}

\begin{nota}
	In coordinate locali scriviamo:

	\[ \omega\Big|_{U} = \sum_{i<j} \omega_{ij}dx^{i}\wedge dx^{j} \]

	dove $\omega_{ij}$ è la forma valutata sui campi coordinati.
\end{nota}

\begin{deff}
	Un simplettomorfismo è un diffeomorfismo che porta indietro una forma sull'altra.
\end{deff}

\begin{nota}
	Il gruppo dei simplettomorfismi di una varietà simplettica compatta di dimensione
	$\dim \geq2$ è infinito dimensionale.
\end{nota}

\begin{ex}
	$\mathbb{R}^{d}$ con la 2-forma

	\[ \omega = \sum_{i} dr^{2i-1}\wedge dr^{2i}\]

	è una varietà simplettica.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il prodotto di due varietà simplettiche può essere dotato di
	infinite strutture simplettiche date da combinazioni lineari
	dei pullback delle forme di partenza mediante le proiezioni.
	Scelte tipiche sono somma e differenza.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il toro bidimensionale è una varietà simplettica con la forma

	\[ \alpha_{1}\wedge\alpha_{2} \]

	e così lo è ogni sua potenza.

	Lo si può vedere anche come quoziente di $\mathbb{R}^{2d}$ mediante
	traslazioni, che sono simplettomorfismi.
\end{ex}

\begin{ex}
	La sfera bidimensionale ammette la forma simplettica

	\[ \omega_{p}(v,w) = \langle p, v \times w\rangle \]

	dove abbiamo identificato lo spazio tangente ad un punto
	con il piano ad esso ortogonale in $\mathbb{R}^{3}$.

	La forma è automaticamente chiusa e non degenere per le proprietà del
	prodotto vettoriale.
\end{ex}
\begin{ex}
	Il cilindro

	\[ C = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3} | x^{2}+y^{2} = 1, z \in (-1,1)\} \]

	(diffeomorfo a $S^{1}\times (-1,1)$) ammette la forma simplettica

	\[ \omega = \alpha \wedge dz \]

\end{ex}

\begin{ex}
	La forma tautologica sul fibrato cotangente è un potenziale simplettico:

	\[ \omega = -d\lambda \]

	è non degenere, come si vede scrivendola in coordinate locali.

	Dato che lo spazio cotangente a un punto nello spazio delle fasi $(q,p)$
	è $T_{p}M \times T_{p}^{*}M$ scriviamo il suo momento come

	\[ p = \sum_{i}p_{i}(p)dq^{i}|_{q} \]

	dove le $p_{i}$ sono le coordinate sullo spazio cotangente a $q$, e un
	vettore tangente

	\[ (v,p_{v}) = \sum_{i}v_{i}\frac{\partial}{\partial q^{i}}
	+ p_{i}(p_{v})dq^{i}\]

	così che

	\[ \lambda_{q,p}(v,p_{v}) =
	p(d\pi_{q,p}(v,p_{v})) =
	p \left( \sum_{i} v_{i} \frac{\partial}{\partial q^{i}} \right)\
	= \sum_{j} p_{j}dq^{j} \left( \sum_{i} v_{i} \frac{\partial}{\partial q^{i}} \right)
	= \sum_{i} p_{i}(p)v_{i}\]

	e pertanto $\lambda = \sum_{i} p_{i}dq_{i}$, e qundi
	$d\lambda = \sum_{i} dp^{i}|_{p} \wedge dq^{i}|_{q}$, che è chiaramente
	non degenere.
\end{ex}

\begin{ex}
	Sul gruppo continuo di Heisenberg $N$, le forme
	\begin{align*}
		\alpha_{1} &= dx \\
		\alpha_{2} &= dy \\
		\alpha_{3} &= dz-ydx
	\end{align*}

	sono invarianti a sinistra ($L^{*}_{\gamma(\alpha) = \alpha}$) per azioni
	del gruppo discreto e quindi passano al quoziente, $N$.
	Abbiamo
	\begin{align*}
		d\alpha_{1} &= 0 \\
		d\alpha_{2} &= 0 \\
		d\alpha_{3} &= d\alpha_{1}\wedge d\alpha_{2}
	\end{align*}

	Su $KT = N\times S^{1}$ consideriamo la forma $\omega = \alpha_{1}\wedge\alpha_{4}
	+ \alpha_{2}\wedge\alpha_{3}$ dove $\alpha_{4}$ è la famosa forma di $S^{1}$.
	Non è degenere perché $\omega^{2} = \alpha_{1}\wedge\alpha_{2}\wedge\alpha_{3}
	\wedge\alpha_{4}$, ed è chiusa.

	Questa 4-varietà simplettica si chiama varietà di Kodaira-Thurston.
\end{ex}

\begin{nota}
	Condizioni necessarie per ammettere struttura simplettica sono la dimensione
	pari e l'orientabilità. Gromov ha dimostrato che una varietà aperta
	ammette una struttura simplettica se e solo se ammette una 2-forma non degenere.
	Su varietà compatte il problema è aperto.
\end{nota}

\subsection{L'argomento di Moser}
\begin{deff}
	Un'isotopia è una famiglia ad un parametro di diffeomorfismi dove $\psi_{0} = Id$

	\`E un concetto più generale di un gruppo di diffeomorfismi
	perché possiamo comunque associargli un campo vettoriale, che però
	dipende dal tempo, cioè una famiglia ad un parametro di campi vettoriali

	\[ X_{t}(p) = \frac{d}{ds}\Big|_{s=t} \psi(s)(\psi_{t}^{-1}(p)) \]

	così che

	\[ \frac{d\psi_{t}}{dt} = X_{t}\circ \psi_{t} \]

	Viceversa da un campo vettoriale dipendente dal tempo che è anche completo
	otteniamo un isotopia che soddisfa quest'equazione, o in generale un'isotopia
	locale.

	La derivata di Lie di una forma rispetto ad un campo vettoriale dipendente dal tempo è

	\[ \mathcal{L}_{X_{t}}\omega = \frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\psi_{t}^{*}\omega \]

\end{deff}

\begin{prop}
	\begin{align*}
		\frac{d}{dt} \psi_{t}^{*} \omega &= \psi_{t}^{*} \mathcal{L}_{X_{t}}\omega  \\
		\frac{d}{dt} \psi_{t}^{*} \omega_{t} &= \psi_{t}^{*}
		\left( \mathcal{L}_{X_{t}}\omega + \frac{d\omega_{t}}{dt} \right)
	\end{align*}

\end{prop}

\begin{nota}
	Nel caso speciale in cui $X$ non dipende dal tempo e $\psi_{t}$ è un gruppo a un parametro
	(locale) di diffeomorfismi abbiamo

	\[ \frac{d}{dt}\psi_{t}^{*} \omega = \frac{d}{ds}\Big|_{s=0} \psi_{t+s}^{*} \omega
	= \frac{d}{dt}\Big|_{s = 0} \psi_{t}^{*}(\psi_{s}^{*}(\omega) )
	= \psi_{t}^{*}\left( \frac{d}{ds}\Big|_{s=0} \psi_{s}^{*} \omega \right)
	= \psi_{t}^{*} \mathcal{L}_{X} \omega \]

\end{nota}

\begin{proof}
	La prima equazione è valida sulle funzioni:
	\begin{align*}
		\frac{d}{dt}\psi_{t}^{*} (f)(p) &= \frac{d}{dt} (f\circ \psi_{t})(p)  \\
		&= df_{\psi_{t}(p)} \left( \frac{d\psi_{t}}{dt} \right) \\
		&= df_{\psi_{t}(p)} (X_{t}(\psi_{t}(p))) \\
		&= (\mathcal{L}_{X_{t}})(\psi_{t}(p)) \\
		&= \psi_{t}^{*} \mathcal{L}_{X_{t}} f
	\end{align*}

	e dalla formula magica di Cartan e dalle proprietà del pullback entrambi i lati commutano
	con $d$ e sono derivazioni.

	Per la seconda, data una funzione di due variabili la regola della catena dà

	\[ \frac{d}{dt}f(t,t) = \frac{d}{dx}f(x,t)\Big|_{x=t} + \frac{d}{dy}f(t,y)\Big|_{y=t} \]

	e quindi

	\[ \frac{d}{dt}\psi_t^*\omega_t = \frac{d}{dx}\psi_{x}^{*}(\omega_{t})\Big|_{x=t}
	+ \frac{d}{dy}\psi_{t}^{*}\omega_{y}\Big|_{y=t}
	= \psi_{t}^{*} \left( \mathcal{L}_{X_{t}}\omega_{t} = \frac{d\omega_{t}}{dt} \right)\]

\end{proof}

\begin{nota}[L'argomento di Moser]
	Se la derivata temporale di una famiglia a un parametro di forme simplettiche
	su una sottovarietà compatta è esatta:

	\[ \frac{d\omega_{t}}{dt} = d\sigma_{t} \]

	allora tutte le forme sono legate da un'isotopia

	\[ \psi_{t}^{*}\omega_t  = \omega_{0}\]

	L'idea è di costruire l'isotopia a partire da un campo vettoriale
	dipendente dal tempo

	\[ 0 = \frac{d}{dt}\psi_{t}^{*}\omega_{t} =
	\psi_{t}^{*} \left( \mathcal{L}_{X_{t}}\omega_{t}
	+ \frac{d\omega_{t}}{dt}\right)
	= \psi_{t}^{*} (d\iota_{X_{t}}\omega_{t}+d\sigma_{t})\]

	dato che tutte le $\omega_{t}$ sono esatte.
	Questo si traduce in

	\[ \iota_{X_{t}}\omega_{t} + \sigma_{t} = 0 \]

	che ha soluzione unica perché tutte le $\omega_{t}$ sono non degeneri.
\end{nota}

\begin{nota}
	Va bene anche se la varietà non è compatta pur che controlli il dominio di soluzione
	dell'equazione differenziale.
\end{nota}

\begin{prop}
	Due 2-forme chiuse su una sottovarietà compatta $P$ di una varietà di dimensione pari
	che coincidono su $P$ e sono forme simplettiche sui singoli spazi tangenti,
	sono legate da un diffeomorfismo definito su un intorno di $P$ che la lascia invariata.
\end{prop}

\begin{proof}
	Supponiamo di avere una 1-forma locale che si annulla sugli spazi tangenti a $P$
	e $d\sigma = \omega_{1}-\omega_{0}$. Denotiamo con

	\[ \omega_{t} = \omega_{0}+t(\omega_{1}-\omega_{0}) = \omega_{0} + td\sigma \]

	il segmento che unisce $\omega_{0}$ e $\omega_{1}$ e sia $\sigma_{t} = td\sigma$.
	Allora ogni $\omega_{t}$ è chiusa e, eventualmente restringendo, non degenere.

	Applicando l'argomento di Moser otteniamo un campo vettoriale dipendente dal tempo che
	si annulla su $P$. Eventualmente restringendo possiamo supporre che l'isotopia associata
	esista per $t\in[0,1]$. A questo punto l'isotopia che lega le due forme è $\psi_{1}$.

	Vediamo come costruire la 1-forma.

	Dotiamo la varietà ambiente di una metrica riemanniana e consideriamo l'intorno

	\[ W_{\varepsilon} = \{(p,w)\in TM | p \in P, w \in (T_{p}P)^{\perp}, |w|<\varepsilon\} \]

	Per $\varepsilon$ sufficientemente piccolo la restrizione a $W_{\varepsilon}$ della mappa
	esponenziale è un diffeomorfismo sulla sua immagine.

	Definiamo per $t\in[0,1]$ su $\exp{W_{\varepsilon}}$ il diffeomorfismo

	\[ \varphi_{t}(\exp(q,w)) = \exp(q,tw) \]

	che interpola tutto quello che manca $W_{\varepsilon}$ a $\exp(W_{\varepsilon})$

	Abbiamo che $\varphi_{0}(W_{\varepsilon})\subset P$, $\varphi_{1} = Id_{exp_{(W_{\varepsilon})}} $ e
	$ \varphi_{t}|_{P} = id_{P} $.
	Pertanto se $\tau = \omega_{1}-\omega_{0}$
	\begin{align*}
		\varphi_{0}^{*}(\tau) &= 0 \\
		\varphi_{1}^{*}(\tau) &= \tau
	\end{align*}

	Siccome i $\varphi_{t}$ sono diffeomorfismi possiamo definire il campo vettoriale

	\[ Y_{t} = \left( \frac{d\varphi_{t}}{dt}\right) \circ \varphi_{t}^{-1} \]

	che diventa singolare per $t=0$. Tuttavia

	\[ \frac{d}{dt}\varphi_{t}^{*} \tau =
	\varphi_{t}^{*} \mathcal{L}_{X_{t}} \tau =
	d(\varphi_{t}^{*} (\iota_{Y_{t}}\tau)) = d\xi_{t}\]

	dove $(\xi_{t})_{p}(v) = \tau_{\varphi_{t}(p)}(Y_{t},d\varphi_{t}(v)) $ definisce una famiglia
	a un parametro di 1-forme che si annullano su $P$.

	Abbiamo allora

	\[ \omega_{1}-\omega_{0} = \tau = \varphi^{*}_{1}\tau - \varphi_{0}^{*}\tau =
	\int_{0}^{1} \frac{d}{dt}\varphi_{t}^{*} \tau dt  =
	\int_{0}^{1} d\xi_{t} dt =
	d\int_{0}^{1} \xi_{t} dt =
	d\sigma
	\]

	dove $\sigma = \int_{0}^{1} \xi_{t} dt$.
\end{proof}
\begin{teo}[Darboux]
	Ogni varietà simplettica è localmente simplettomorfa a $(\mathbb{R}^{2d},\omega_{0})$.
\end{teo}

\begin{proof}
	Dato un punto costruiamo una base simplettica sul suo spazio tangente. Dato che
	$\omega$ e $\sum_{i} dx^{2i-1}\wedge dx^{2i}$ coincidono nel punto, possiamo
	applicare la proposizione precedente alla sottovarietà compatta $P = {p}$.
\end{proof}

\begin{cor}
	Ogni carta locale si può scegliere in modo che la forma simplettica abbia la forma
	canonica. Queste coordinate si dicono coordinate di Darboux.
\end{cor}
\subsection{Meccanica hamiltoniana}

\begin{deff}
	Un campo vettoriale è simplettico se $\mathcal{L}_{X} \omega = 0$.
\end{deff}
\begin{lem}
	Sono equivalenti:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Un campo vettoriale è simplettico
		\item La forma simplettica è invariante sotto azione
			del gruppo a un parametro locale di diffeomorfismi di $X$
		\item La forma $\iota_{X}\omega$ è chiusa.
	\end{enumerate}

\end{lem}
\begin{proof}
	$(1)\iff(2)$ segue dalla definizione di derivata.

	$(1)\iff(3)$ segue dalla formula magica di Cartan

	\[ d\iota_{X}\omega = \mathcal{L}_{X}\omega -\iota_{X}d\omega = \mathcal{L}_{X} \omega \]

\end{proof}

\begin{ex}
	Su $S^{2}$ consideriamo la forma simplettica $\omega = d\vartheta \wedge dh$.
	Il campo $\frac{\partial}{\partial \vartheta}$ soddisfa $d\iota_{X}\omega = d(dh) = 0$
	quindi è simplettico. Le sue curve integrali sono i paralleli, il suo flusso è l'azione
	di $S^{1}$. Inoltre

	\[ \psi_{t}^{*}(\omega) = \psi_{t}^{*}(d\vartheta \wedge dh)
	= d(\vartheta + t ) \wedge dh = d\vartheta \wedge dh = \omega \]

\end{ex}

\begin{ex}
	Sul toro consideriamo la forma simplettica $d\vartheta_{1} \wedge d\vartheta_{2}$ si considera
	il campo $\frac{\partial}{\partial \vartheta_{1}}$. Basically tutto uguale.
\end{ex}
\begin{deff}
	Un campo vettoriale è hamiltoniano se $\iota_{X}\omega$ è esatta, e il suo potenziale è
	la sua hamiltoniana.
\end{deff}

\begin{nota}
	Ogni campo hamiltoniano è simplettico.
\end{nota}
\begin{nota}
	Se scegliamo coordinate di Darboux localmente

	\[ df = \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial q^{i}}dq^{i} +
	\frac{\partial f}{\partial p^{i}}dp^{i}\]
	quindi

	\[ X_{f} = \sum_{i} \left( \frac{\partial f}{\partial p^{i}}
	\frac{\partial}{\partial q^{i}} - \frac{\partial f}{\partial q^{i}}
	\frac{\partial}{\partial p^{i}}\right) \]
	La curva integrale di $X_{f}$ diventa

	\[\dot{\sigma}_{x}(t) = \sum_{i}
	\left( \dot{q}_{i} \frac{\partial}{\partial q^{i}} +
	\dot{p}_{i} \frac{\partial}{\partial p^{i}}  \right) \]

	e valgono le equazioni di Hamilton

	\[
		\begin{cases}
			\dot{q}_{i} = \frac{\partial f}{\partial p^{i}} \\
			\dot{p}_{i} =-\frac{\partial f}{\partial q^{i}}
		\end{cases}
	\]

\end{nota}

\begin{deff}
	Il sottogruppo a un parametro locale di un campo hamiltoniano si chiama
	flusso di fase.
\end{deff}

\begin{teo}[Liouville]
	Il flusso di fase preserva l'hamiltoniana, cioè le sue curve integrali sono
	contenute in insiemi di livello di $f$.
\end{teo}

\begin{proof}

	\[ \frac{d}{dt}(f \circ \psi_{t})(p)
	= df_{\psi_{t}(p)}(X_{f}(\psi_{t}(p)))
	= \omega(X_{f}(\psi_{t}(p)),X_{f}(\psi_{t}(p))) = 0\]

\end{proof}

\begin{ex}
	Consideriamo su $T^{*}R$ le coordinate $(q,p)$ la forma $\omega = dq \wedge dp$.
	L'hamiltoniana dell'oscillatore armonico
	\begin{align*}
		H &= \frac{1}{2m}p^{2} + \frac{1}{2}kq^{2} \\
		dH &= \frac{1}{m} pdp + kqdq \\
		X_{H} &= \frac{p}{m} \frac{\partial}{\partial q} -
		kq \frac{\partial}{\partial p}
	\end{align*}
	che dà come curve integrali

	\[
		\begin{cases}
			\dot{q} = \frac{p}{m} \\
			\dot{p} = -kq
		\end{cases}
	\]

\end{ex}

\begin{ex}
	Date coordinate $(q_{1},q_{2},q_{3},\dot{q}_{1},\dot{q}_{2},\dot{q}_{3})$ sul fibrato
	tangente di $\mathbb{R}^{3}$, definiamo i momenti di una configurazioni come

	\[ p_{i}(q_{1},q_{2},q_{3},\dot{q}_{1},\dot{q}_{2},\dot{q}_{3})  = mv_{i}\]

	Allora $(q_{1},q_{2},q_{3},p_{1},p_{2},p_{3})$ sono coordinate globali su $T^{*}\mathbb{R}3$.
	La forma simplettica si scrive

	\[ \omega = \sum_{i} dq^{i} \wedge dp^{i}\]

\end{ex}

\begin{ex}
	Il campo $\frac{\partial}{\partial\vartheta}$ su $S^{2}$ è il campo dell'hamiltoniana $h$.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il campo $\frac{\partial}{\partial\vartheta_{1}}$ su $T^{2}$ non è hamiltoniano perché gira dentro
	a un buco.
\end{ex}

\begin{nota}
	Se il primo gruppo di coomologia è banale, ogni campo simplettico è hamiltoniano.
\end{nota}
\begin{prop}
	Il commutatore di campi simplettici è hamiltoniano con hamiltoniana $-\omega(X,Y)$.
\end{prop}

\begin{deff}
	La parentesi di Poisson di due funzioni è

	\[ \{f,g\} = \omega(X_{f},X_{g}) =
	\sum_{i} \frac{\partial f}{\partial q^{i}} \frac{\partial g}{\partial p^{i}}
	-\frac{\partial f}{\partial p^{i}} \frac{\partial g}{\partial q^{i}} =
	X_{g}(f) = -X_{f}(g)\]

\end{deff}

\begin{prop}
	La parentesi di Poisson rende le funzioni sulla varietà un'algebra di Lie
	e $f \mapsto X_{f}$ è un antimorfismo con l'algebra dei campi vettoriali.
\end{prop}

\begin{proof}
	Mostriamo che $X_{\{f,g\}} = -[X_{f},X_{g}]$

	\[ \omega(X_{\{f,g\}},Z) = d\{f,g\}(Z) = d(\omega(X_{f},X_{g})) (Z)
	= -\omega([X_{f},X_{g}],Z)\]

	A questo punto basta usare l'antisimmetria delle parentesi per trasportare dai campi
	vettoriali sulle funzioni l'identità di Jacobi.
\end{proof}

\begin{deff}
	Un sistema hamiltoniano è una varietà simplettica con un'hamiltoniana.
\end{deff}

\begin{teo}[Noether]
	Una funzione Poisson-commuta con l'hamiltoniana se e solo se è costante lungo
	le curve integrali del campo hamiltoniano, cioè è una costante del moto.
\end{teo}

\begin{proof}
	Se $\psi_{t}$ è il flusso di fase

	\[ \frac{d}{dt}(f\circ\psi_{t}) (p)
	= df_{\psi_{t}(p)}(X_{H}(\psi_{t}(p))) =
	\omega(X_{f}(\psi_{t}(p)),X_{H}(\psi_{t}(p)))
	= \{f,H\}(\psi_{t}(p))\]

\end{proof}

\begin{lem}
	Il massimo numero di funzioni indipendenti su un aperto denso e in
	involuzione è il numero di gradi di libertà $\frac{1}{2}\dim M$.
\end{lem}

\begin{proof}
	Se $p$ è regolare per tutte le funzioni allora i corrispettivi campi
	hamiltoniani sono non nulli in quel punto e

	\[ \omega(X_{f_{j}},X_{f_{k}}) = \{f_{j},f_{k}\} = 0\]

	quindi i vettori $\{X_{f_{i}}(p)\}$ generano un sottospazio isotropo.
\end{proof}

\begin{deff}
	Un sistema hamiltoniano è (completamente) integrabile se ha una costante
	del moto per ogni grado di libertà.
\end{deff}

\begin{ex}
	L'oscillatore armonico, il pendolo sferico, il moto di una particella in un
	campo centrale.
\end{ex}
\begin{lem}
	Gli insiemi di livello simultanei di valori regolari delle costanti
	del moto di un sistema integrabile sono sottovarietà lagrangiane.
\end{lem}

\begin{proof}
	Denotiamo con $X_{j}= X_{f_{j}}$, ciascuno dei quali è non nullo nella
	preimmagine di un valore regolare ed è tangente all'insieme di livello $L$:
	\[ dF(X_{j}) = (df_{1}(X_{j}),\dots,df_{d}(X_{j})) =
	(\{f_{1},f_{j}\},\dots,\{f_{d},f_{j}\}) = 0 \]

	pertanto i campi formano una base per gli spazi tangenti a $L$.
	Dato che $\omega(X_{i},X_{j}) = \{f_{i},f_{j}\} = 0$ gli spazi tangenti
	ai punti di $L$ sono lagrangiani.

	Se ogni campo è completo abbiamo un'azione di $\mathbb{R}^{d}$ su $L$

	\[ \Psi(t_{1},\dots,t_{d},p) = (\psi^{1}_{t_{1}},\dots,\psi^{d}_{t_{d}})(p)\]

	mediante traslazioni lungo le loro curve integrali. Che sia un'azione discende dal
	fatto che i campi commutano e pertanto commutano i flussi.

	Questo mostra che ogni componente connessa di $L$ è $\mathbb{R}^{k}\times T^{d-k}$.
	Se $L$ è compatta, è un toro, detto toro di Liouville.
\end{proof}
\begin{teo}[Arnold-Liouville]
	Dato un sistema integrabile con $F: M \rightarrow \mathbb{R}^{d}, F
	= (H,f_{2},\dots,f_{d})$ e $c$ un valore regolare:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $F^{-1}(c)$ è una sottovarietà lagrangiana di $M$.
		\item Se i flussi dei campi hamiltoniani uscenti da $p$ sono definiti
			per ogni tempo, la componente connessa $L$ di $F^{-1}(c)$ è
			uno spazio omogeneo per $\mathbb{R}^{d}$ e ha coordinate $
			\varphi_{1},\dots,\varphi_{d}$ dette variabili angolo, nelle quali i flussi
			sono lineari.
		\item Esistono variabili $I_{1},\dots,I_{d}$ dette azione (raggio), complementari
			alle variabili angolo, che sono costanti del moto e completano
			ad un insieme di coordinate di Darboux.
	\end{enumerate}

\end{teo}

\begin{ex}
	Le variabili azione-angolo per l'oscillatore armonico sono raggio e angolo
	nel piano delle fasi (riscalati).
\end{ex}
\section{Fibrati vettoriali}

\begin{ex}
	\
	\begin{itemize}
		\item La proiezione che trasla un vettore al centro della sfera è suriettiva
			ma non iniettiva.
		\item Se teniamo conto della coda del vettore invece otteniamo una mappa iniettiva
			con cui possiamo topologizzare $TS^{2}$ come sottospazio di $S^{2}\times
			\mathbb{R}^{3}$ formato dai vettori ortogonali al punto base.
		\item $TS^{2}$ è così uno spazio topologico ma anche l'unione disgiunta degli
			spazi tangenti ai punti della sfera, cioè una famiglia continua di
			spazi vettoriali parametrizzati dai punti di $S^{2}$.
		\item Anche $S^{2}\times \mathbb{R}^{2}$ ha questa proprietà, ma se fossero uguali
			potremmo costruire un campo vettoriale mai nullo sulla sfera, assurdo.
		\item Per $n=1,3,7$ il fibrato tangente alla sfera è banale perché possiamo ruotare
			un vettore che rappresenta il punto sulla sfera ad un vettore tangente
			nel numero necessario di modi moltiplicandolo per le varie unità immaginarie
			dell'algebra di divisione corrispondente. Sono le uniche sfere con fibrato banale.
		\item Anche se $TS^{2}$ non è banale posso proiettare localmente un vettore
			tangente a un punto sullo stesso emisfero di $x$ sul piano tangente
			$P$ a $x$, traslato all'origine. Quindi il pezzettino di fibrato
			con basi in un intorno $U$ di $x$ è identificabile con $U\times P$, e
			$p^{-1}(y) \cong \{y\}\times P$ è un isomorfismo lineare.
	\end{itemize}

\end{ex}
\subsection{Definizioni}
\begin{deff}
	Un fibrato vettoriale $n$-dimensionale è una mappa $p:E \rightarrow B$
	con una struttura di spazio vettoriale su ogni fibra $p^{-1}(b)$ per ogni
	punto di base, che soddisfa la condizione di banalità locale:
	posso ricoprire la base di aperti la cui preimmeagine è omeomorfa
	a $U_{\alpha}\times \mathbb{R}^{n}$ con $p^{-1}(b) \cong \{b\}\times \mathbb{R}^{n}$.

	Questi omeomorfismi compongono la banalizzazione locale.
\end{deff}

\begin{nota}
	Si potrebbe prendere $\mathbb{C}$ ma anche no.
\end{nota}

\begin{ex}
	Il fibrato banale $E = B\times \mathbb{R}^{n}$ con la proiezione
	sulla prima componente.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il fibrato di M\"obius, un fibrato di linea $I\times \mathbb{R} /
	\{(0,t)\sim (1,-t)\}$ con la proiezione al primo fattore che passa
	al quozione come $p: E \rightarrow S^{1}$. Sarebbe un nastro di M\"obius
	aperto.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il fibrato tangente alla sfera unitaria descritto sopra.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il fibrato normale alla sfera è un fibrato di linea formato dai
	multipli del punto della sfera. Le banalizzazioni locali sono come
	nel fibrato tangente.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il fibrato tautologico sullo spazio proiettivo dove la fibra
	attaccata ad un punto è la retta che il punto rappresenta.
\end{ex}

\begin{ex}
	Lo spazio proiettivo reale infinito dimensionale è l'unione
	di tutti gli spazi proiettivi con la topologia del limite diretto,
	per cui un insieme è aperto se interseca tutti gli spazi in un aperto.
	Le inclusioni di spazi euclidei inducono inclusioni di spazi proiettivi
	e inclusioni di fibrati tautologici.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il fibrato tautologico sullo spazio proiettivo reale ha un complemento ortogonale,
	dove la fibra associata a una linea è il suo sottospazio ortogonale.
\end{ex}

\begin{ex}
	Ogni grassmanniana ha un fibrato tautologico e un suo ortogonale allo stesso modo.
\end{ex}

\begin{deff}
	Un isomorfismo di fibrati vettoriali è un omeomorfismo degli spazi totali
	che manda fibre in fibre mediante isomorfismi lineari.
\end{deff}

\begin{ex}
	Il fibrato normale alla sfera è isomorfo al fibrato di linea banale, e,
	per $S^{1}$, al fibrato tangente.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il fibrato di M\"obius è isomorfo al fibrato tautologico su $\mathbb{R}P^{1}
	\cong S^{1}$.
\end{ex}

\begin{deff}
	Una sezione di un fibrato vettoriale è una mappa che assegna a ogni punto
	della base un vettore della fibra, ovvero un'inversa destra della proiezione.
\end{deff}

\begin{nota}
	A volte si possono distinguere fibrati non isomorfi esaminando il complemento
	della sezione nulla. Tagliando a metà un nastro di M\"obius lui rimane connesso,
	a differenza di un cilindro.
\end{nota}

\begin{nota}
	Non tutti i fibrati hanno sezioni mai nulle, per esempio il fibrato tangente
	alla sfera pari, che quindi non è di sicuro banale.
\end{nota}

\begin{prop}
	Un fibrato è banale se ha $n$ sezioni linearmente indipendenti in ogni punto.
\end{prop}

\begin{proof}
	Date $n$ sezioni indipendenti $s_{i}$ la mappa
	\begin{align*}
		h:B\times \mathbb{R}^{n} &\rightarrow E \\
		h(b,t_{1},\dots,t_{n}) &= \sum_{i} t_{i}s_{i}(b)
	\end{align*}

	è un isomorfismo lineare in ogni fibra ed è continuo, pertanto è un
	isomorfismo grazie al seguente lemma:
\end{proof}

\begin{lem}
	Se la base è la stessa, basta verificare che la mappa sia continua e che
	sia isomorfismo lineare sulle fibre.
\end{lem}

\begin{proof}
	Segue dall'ipotesi che $h$ è biunivoca, ma bisogna mostrare che $h^{-1}$
	è continua.

	Essendo una questione locale, restringiamo ad un aperto della base sul
	quale entrambi i fibrati sono banali. La questione si riduce a mappe

	\[ h(x,v) = (x,g_{x}(v)) \]

	dove $g_{x}$ è una matrice invertibile. Dato che l'inversione è una
	mappa continua in $\GL$ abbiamo che

	\[ h^{-1}(x,v) = (x,g_{x}^{-1}(v)) \]

	è continua.
\end{proof}

\begin{ex}
	Il fibrato tangente a $S^{1}\subset \mathbb{C},S^{3} \subset \mathbb{H}
	,S^{7}\subset \mathbb{O}$ è banale perché abbiamo le sezioni

	\[ p \mapsto (i_{1}p,\dots,i_{n}p)\]

	Questo funziona perché in tutte e tre le algebre sia la norma di $\mathbb{R}^{n}$
	è moltiplicativa.
\end{ex}

\begin{nota}
	Un altra caratterizzazione del fibrato banale è una proiezione continua
	$E \rightarrow \mathbb{R}^{n}$.
\end{nota}

\subsection{Somme e prodotti}

\begin{nota}
	La restrizione ad un aperto della base di un fibrato è un fibrato.
\end{nota}

\begin{nota}
	Il fibrato prodotto

	\[ p_{1}\times p_{2}: E_{1}\times E_{2} \rightarrow
	B_{1}\times B_{2}\]

	è un fibrato con banalizzazioni locali che sono il prodotto
	di quelle dei fattori.
\end{nota}

\begin{deff}
	Dati due fibrati sulla stessa base il fibrato somma diretta ha come
	fibre la somma diretta delle fibre:

	\[ E_{1} \oplus E_{2} = \{(v_{1},v_{2}\in E_{1}\times E_{2}
	| p_{1}(v_1) = p_{2}(v_{2}))\} \]

	Questo fibrato è la restrizione alla diagonale $(b,b)$ del fibrato prodotto.
\end{deff}

\begin{nota}
	La somma di due fibrati non banali può essere banale.
\end{nota}

\begin{ex}
	La somma diretta dei fibrati tangente e normale alla sfera è il fibrato banale
	$S^{n}\times \mathbb{R}^{n+1}$. Si dice che il fibrato tangente alla sfera
	è stabilmente banale, cioè diventa banale sommandolo con un fibrato banale.
\end{ex}

\begin{ex}
	Lo stesso accade per lo spazio proiettivo, per esempio nel caso $n=1$ possiamo scomporre
	$S^{1}\times \mathbb{R}^{2}$ (ciambella aperta) in due nastri di M\"obius ortogonali.
\end{ex}

\begin{ex}
	Dividendo ambo i membri di

	\[ S^{n}\times \mathbb{R}^{n+1} \cong TS^{n} \oplus NS^{n} \]

	per l'azione antipodale, otteniamo che un vettore tangente allo spazio proiettivo
	è una coppia di vettori tangenti antipodali in $S^{n}$.
\end{ex}

\begin{prop}
	La somma diretta del fibrato tangente allo spazio proiettivo con un fibrato banale
	(lo spazio normale allo spazio proiettivo) è la somma diretta di $n+1$ copie del
	fibrato tautologico sullo spazio proiettivo.
\end{prop}

\begin{proof}
	Quozientando tutti i sommandi abbiamo

	\begin{align*}
		\frac{NS^{n}}{(x,v)\sim (-x,-v)} &=
		\frac{NS^{n}}{(x,tx)\sim (-x,t(-x))} =
		\mathbb{R}P^{n} \times \mathbb{R} \\
		\frac{S^{n}\times \mathbb{R}^{n+1}}{(x,v)\sim (-x,-v)} &=
		\underbrace{\frac{S^{n}\times \mathbb{R}}{(x,v)\sim (-x,-v)}
		\oplus \dots \oplus
		\frac{S^{n}\times \mathbb{R}}{(x,v)\sim (-x,-v)}
		}_\text{$n+1$ volte} \\
		\frac{S^{n}\times \mathbb{R}}{(x,v)\sim (-x,-v)} &=
		\frac{NS^{n}}{(x,v)\sim (-x,(-t)(-x))}  \\
		&= \frac{NS^{n}}{(x,v)\sim (-x,tx))}
	\end{align*}

	L'identificazione dei punti antipodali della base permette di considerare le linee, e
	rimangono comunque tutti i vettori.
\end{proof}

\begin{cor}
	\begin{item}
	\item La somma diretta di 4 copie di $\mathbb{R}P^{3}$ è banale
	\item La somma diretta di 8 copie di $\mathbb{R}P^{7}$ è banale
	\end{item}
\end{cor}

\begin{proof}
	Le sezioni indipendenti su $S^{3},S^{7}$ passano al quoziente e banalizzano
	$\mathbb{R}P^{3},\mathbb{R}P^{7}$.
\end{proof}

\begin{deff}
	Un prodotto interno su un fibrato vettoriale è una mappa $E\oplus E \rightarrow \mathbb{R}$
	che è un prodotto interno su ogni fibra.
\end{deff}

\begin{prop}
	Fibrati vettoriali paracompatti ammettono prodotti interni.
\end{prop}

\begin{proof}
	Come le metriche.
\end{proof}

\begin{deff}
	Un sottofibrato vettoriale è un sottospazio dello spazio totale
	che interseca le fibre in un sottospazio vettoriale.
\end{deff}

\begin{prop}
	Un fibrato vettoriale su base paracompatta ammette scomposizione
	in somma diretta di ogni suo sottofibrato vettoriale e il suo ortogonale.
\end{prop}

\begin{proof}
	Costruiamo il sottofibrato ortogonale completando localmente le sezioni
	indipendenti del sottofibrato a una base del fibrato ambiente e
	applicando Gram-Schmidt, che poi possiamo restringere ai sottospazi
	ortogonali alla fibre.
\end{proof}

\begin{prop}
	Ogni fibrato vettoriale su base compatta Hausdorff può essere
	direttamente sommato ad un fibrato vettoriale sulla stessa base per
	ottenere un fibrato banale.
\end{prop}

\begin{proof}
	Ogni punto di $E$ ha un intorno $U_{x}$ sul quale il fibrato è banale.
	Per il lemma di Urysohn c'è una mappa

	\[ \varphi_{x} : B	\rightarrow [0,1]\]

	che separa $x$ da $U_{x}^{c}$. Gli insiemi $W_{i} = \varphi_{x}^{-1}(0,1]$
	ricoprono la base e per compattezza posso passare a un ricoprimento
	finito con le funzioni $\varphi_{i}$.

	Definiamo \begin{align*} g_{i}: E &\rightarrow \mathbb{R}^{n} \\
	g_{i}(v) &= \varphi_{i}(p(v))(\pi_{i}h_{i}(v)) \end{align*}

	dove $\pi_{i}h_{i}$ banalizza localmente e proietta sulla fibra.

	Ciascuna delle $g_{i}$ è un'iniezione lineare sulle fibre su $W_{i}$,
	pertanto possiamo radunarle tutte in una $g: E \rightarrow
	\mathbb{R}^{N}$.

	La mappa \[ f = p\times g: E \rightarrow B \times \mathbb{R}^{n} \]
	identifica $E$ come sottofibrato di un fibrato banale, e pertanto
	abbiamo dalla proposizione precedente un suo complementare.
\end{proof}

\begin{deff}
	Il prodotto tensore di due fibrati è l'unione disgiunta dei
	prodotti delle fibre, con la topologia indotta dai prodotti
	delle banalizzazioni locali.

	Questa topologia è indipendente dalla scelta delle banalizzazioni
	perché tutte queste differiscono per una matrice invertibile.
\end{deff}
\begin{nota}
	Un fibrato vettoriale con banalizzazioni locali $h_{\alpha}$
	può essere ricostruito come
	\[ \frac{\coprod_{\alpha}(U_{\alpha} \times \mathbb{R}^{n})}
	{\text{$(x,v)\sim h_{\beta}h_{\alpha}^{-1}(x,v)$ se $x\in
	U_{\alpha}\cap U_{\beta}$}} \]

	Le funzioni $h_{\beta}h_{\alpha}^{-1}$ si possono vedere come
	trasformazioni lineari $g_{\beta\alpha}\in \GL(\mathbb{R}^{n})$
	che soddisfano la condizione di cociclo
	\[ \text{$g_{\gamma\beta}g_{\beta\alpha} = g_{\gamma\alpha}$ su
	$U_{\alpha}\cap U_{\beta} \cap U_{\gamma}$}\]

	Un insisme di funzioni di assemblaggio di questo tipo è
	sufficiente a descrivere un fibrato.
\end{nota}
\begin{nota}
	Con questa formulazione, il prodotto tensore di due fibrati
	può essere definito dai prodotti tensori di funzioni
	di assemblaggio su una banalizzazione locale comune.
\end{nota}
\begin{nota}
	Il prodotto tensore di fibrati vettoriali è commutativo,
	associativo, dotato di elemento neutro che è il fibrato
	di linea banale, distributivo rispetto alla somma diretta.

	Questa operazione rende l'insieme $\Vect^{1}(B)$ di classi
	di isomorfismi di fibrati di linea su $B$ un gruppo abeliano.
	L'inverso di un fibrato di linea è il fibrato ottenuto
	rimpiazzando le funzioni di assemblaggio (numeri reali)
	con le loro inverse.

	Dotando $E$ di un prodotto interno
	possiamo chiedere che le $g_{\beta\alpha}$ siano
	isometrie, restringendone così i valori a $\pm 1$.
	Le funzioni di assemblaggio di $E\oplus E$ sono i loro
	quadrati, ovvero $g_{\beta\alpha} = 1$, pertanto
	$E\oplus E$ è il fibrato banale. Questo mostra che ogni
	elemento di $\Vect^{1}(B)$ è idempotente.

	Questo va d'accordo col fatto che $\Vect^{1}(B) \cong
	H^{1}(B; \mathbb{Z}_{2})$ per basi omotopicamente
	equivalenti a un $CW$-complesso.
\end{nota}
\begin{nota}
	Considerando $\Vect^{1}_{\mathbb{C}(B)}$ abbiamo che
	le funzioni di assemblaggio di $E\oplus E$ hanno valori
	in $S^{1}$, e infatti $\Vect^{1}(B) \cong H^{1}(B;
	\mathbb{Z})$ (per basi omotopicamente equivalenti
	a un $CW$-complesso).

	L'inverso si ottiene considerando il fibrato coniugato.
\end{nota}
\begin{nota}
	Si possono definire potenze esterne di un fibrato
	vettoriale, dove le funzioni di assemblaggio sono
	$\Lambda^{k}g_{\beta\alpha}$.
\end{nota}

\begin{deff}
	Eliminando i firerimenti agli spazi vettoriali
	e rimpiazzando il modello di fibra $\mathbb{R}^{n}$
	con un generico spazio $F$ otteniamo un generale fibrato.
\end{deff}

\begin{ex}
	Dato un prodotto interno su un fibrato, possiamo considerare su ogni
	fibra la sfera unitaria e ottenere il fibrato $S(E) \rightarrow B$. Lo
	si può definire anche senza prodotto interno identificando una sezione
	non nulla con tutti i suoi multipli positivi.

	Per esempio il fibrato sfera unitaria del fibrato tautologico su
	$\mathbb{R}P^{n}$ è $S^{n}$.

	Allo stesso modo si può definire $D(E)$, oppure $P(E)$.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il fibrato bandiera $F_{k}(E) = P(E)^{k}$ di un fibrato vettoriale, che
	ha come spazio totale e identifica $k$-ple di rette ortogonali che
	passano dall'origine nella fibra.
\end{ex}
\begin{ex}
	Il fibrato di Stiefel $V_{k}(E) = S(E)^{k}$ di un fibrato vettoriale
	formato da $k$-ple di vettori unitari ortogonali, cioè basi
	ortonormali.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il fibrato grassmanniano $G_{k}(E)$ di sottospazi vettoriali
	$k$-dimensionali delle fibre, ovvero il fibrato di Stiefel modulo
	l'identificazione di basi dello stesso sottospazio.
\end{ex}

\begin{es}
	Un fibrato vettoriale ha $k$ sezioni indipendenti se e solo se
	ha un sottofibrato banale $k$-dimensionale.
\end{es}
\begin{es}
	Costruisci il quoziente di un fibrato per un suo sottofibrato.
\end{es}
\begin{es}
	Il complemento ortogonale di un sottofibrato è indipendente dalla
	scelta del prodotto interno, salvo isomorfismo.
\end{es}

\begin{prop}
	Data una mappa tra basi  $f$ e un fibrato vettoriale $E$ sulla base di
	arrivo esiste un fibrato vettoriale $f^{*}E$, unico salvo isomorfismo,
	sulla base di partenza con le fibre isomorfe alle fibre sull'immagine
	del punto base.
\end{prop}
\begin{proof}
	$f^{*}E = \{(a,v) \in A \times E \, | \,  f(a) = p(v)\}$ si definisce con un elegante
	diagramma commutativo. La proiezione $f^{*}E \rightarrow A$ fattorizza in
	\begin{align}
		f^{*} E \rightarrow \, &\Gamma_{f} \rightarrow A \\
		(a,v) \mapsto (a,p(v)) &= (a,f(a)) \mapsto a
	\end{align}
	composizione della restrizione del fibrato $1\times p: A\times E
	\rightarrow A \times B$ e di un isomorfismo.

	Dato un diverso $E'$ che soddisfa le definizioni abbiamo un isomorfismo
	in $f^{*}E$ dato da $v' \mapsto (p'(v'),f'(v'))$.
\end{proof}

\begin{nota}
	Il pullback di un fibrato banale è banale.
\end{nota}

\begin{ex}
	La restrizione di un fibrato vettoriale ad un suo sottospazio
	può essere vista come il pullback rispetto all'inclusione.
\end{ex}
\begin{ex}
	Il pullback di una mappa costante è un fibrato banale.
\end{ex}
\begin{ex}
	Il fibrato tangente alla sfera è il pullback del fibrato tangente
	allo spazio proiettivo mediante la proiezione.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il pullback del fibrato di M\"obius $E \rightarrow S^{1}$ mediante la
	mappa $f(z) \rightarrow z^{2}$ è il fibrato banale, perché apro il
	nastro a metà e ce ne concateno un altro In generale $z^{n}$ dà la
	concatenazione di $n$ nastri, cioè il fibrato banale per $n$ pari e il
	nastro di M\"obius per $n$ dispari.
\end{ex}

\begin{ex}
	Consideriamo il fibrato di linea $L_{i} \rightarrow F(E)$ sul fibrato
	bandiera dove le fibre sono l'asse $i$. Allora la somma diretta
	$L_{1}\oplus\dots\oplus L_{n}$ è il pullback di $E \rightarrow B$
	tramite la proiezione $F(E) \rightarrow B$.
\end{ex}
\begin{prop}
	\
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $(fg)^{*} = g^{*}f^{*}$
		\item $1^{*} = 1$
		\item $f^{*}(E_{1} \oplus E_{2}) = f^{*}E_{1}\oplus f^{*}E_{2} $
		\item $f^{*}(E_{1} \otimes E_{2}) = f^{*}E_{1}\otimes f^{*}E_{2} $
	\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{teo}
	Mappe omotope portano indietro un fibrato vettoriale su base paracompatta
	a fibrati isomorfi.
\end{teo}
\begin{proof}
	Se $F: A \times I \rightarrow B$ è l'omotopia da $f_{0}$ a $f_{1}$ i due
	pullback sono la restrizione di $F^{*}E$ ad $A\times \{0\}$ e $A \times \{1\}$,
	quindi il teorema segue dalla seguente
\end{proof}

\begin{prop}
	Le restrizioni di un fibrato vettoriale su $X \times I$ agli estremi
	sono isomorfe se $X$ è paracompatto.
\end{prop}
\begin{proof}
	Due fatti:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Un fibrato vettoriale su $X\times [a,b]$ è banale
			se lo sono le sue restrizioni a $X \times [a,c]$
			e $X \times [c,b]$.

			Infatti se esistono $h_{1},h_{2}$
			banalizzazioni globali delle due restrizioni possiamo
			sostituire $h_{2}$ con $g_{12}h_{2}$ in modo che
			coincidano su $p^{-1}(X\times \{c\})$ e saldarle in
			una banalizzazione globale.
		\item Un fibrato vettoriale su $X\times I$ ammette
			un ricoprimento aperto di $X$ tale che $p^{-1} (U_{\alpha}
			\times I) \rightarrow U_{\alpha \times I}$ è banale.

			Infatti per ogni punto basta prendere banalizzazioni tubulari della forma
			$U_{x,i} \times I_{i}$ dove gli $I_{i}$ sono una partizione di $I$,
			finita per compatteza di $I$. Prendendo allora l'intersezione
			di questi intorni possiamo saldare tutti i cilindretti per il punto (i).
	\end{enumerate}

	Usando (ii) scegliamo un ricoprimento aperto di $X$ in modo che $E$ è banale su
	$U_{\alpha} \times I$.

	Se $X$ è compatto Hausdorff le cose sono semplici: passiamo a un sottoinsieme finito
	$U_{i}$ e prendiamo una partizione dell'unità subordinata.
	Sia $\psi_{i} = \varphi_{1}+\dots+\varphi_{i}$ la somma delle prime $i$ funzioni.
	Consideriamo i grafici $X_{i}$ in $X \times I$ e la restrizione $E_{i} \rightarrow X_{i}$
	del fibrato su di essi.
	Dato che il fibrato è banale su $U_{i}\times I$ la proiezione ovvia (omeomorfismo)
	$X_{i} \rightarrow X_{i-1}$ induce un omeomorfismo tra i fibrati $E_{i} \rightarrow E_{i-1}$
	che è l'identità al di fuori di $p^{-1}(U_{i}\times I)$.
	La composizione di tutte queste composizioni è un isomorfismo dalla restrizione del fibrato
	a $X \times \{1\}$ alla restrizione a $X \times \{0\}$.

	Se $X$ è solo paracompatto abbiamo un ricoprimento numerabile $V_{i}$ e una partizione
	dell'unità ad esso subordinata dove ogni $V_{i}$ è l'eventuale raggruppamento di
	aperti contenuti nelle pezze $U_{\alpha}$. Boh poi tutto uguale lol.
\end{proof}
\begin{cor}
	Un equivalenza omotopica tra due basi compatte induce una
	corrispondenza biunivoca tra fibrati vettoriali nella direzione
	opposta.

	In particolare, ogni fibrato vettoriale su base paracompatta
	contraibile è banale.
\end{cor}

\begin{nota}
	Il teorema vale anche per fibrati generici.
\end{nota}

\subsection{Funzioni frizione}

\begin{ex}
	La sfera è l'unione dei sui emisferi chiusi $D_{\pm}^{k}$.
	Data una mappa $f: S^{k-1} \rightarrow \GL_{n}(\mathbb{R})$
	abbiamo un fibrato vettoriale su $S^{k}$
	\[ E_{f} = \frac{D_{+}^{k} \times \mathbb{R}^{n}
	\coprod D_{-}^{k} \times \mathbb{R}^{n}}
	{(x,v)\in \partial D_{-}^{k} \times \mathbb{R}^{n}
	\sim (x,f(x)v) \in \partial D_{+}^{k}\times \mathbb{R}^{n}}\]

	Questo si può vedere per esempio allargando gli emisferi
	a dischi aperti dove la funzione frizione dà le funzioni
	di assemblaggio in ogni punto.
\end{ex}
\begin{ex}[Il fibrato tangente a $S^{2}$]
	Consideriamo il campo $v_{+}$ sull'emisfero nord di $S^{2}$
	dato dal trasporto
	parallelo di un vettore al polo nord lungo ciascun meridiano
	in modo da mantenere costante l'angolo col meridiano.
	Riflettendo rispetto al piano dell'equatore si ottiene un campo
	sul polo sud $v_{-}$ e ruotando i campi di $90°$ si ottengono
	altri due campi indipendenti $w_{\pm}$.

	I campi $v_{\pm}$ e $w_{\pm}$ banalizzano $TS^{2}$ su $D_{\pm}$ così che
	abbiamo i nostri due mezzi fibrati. La funzione frizione
	necessaria a farli combaciare ruota in ogni punto i vettori
	$(v_{+},w_{+})$ nei vettori $v_{-},w_{-}$ corrispondenti, ovvero
	è la rotazione di un angolo doppio della longitudine.
\end{ex}

\begin{ex}[Il fibrato tautologico su $\mathbb{C}P^{1}$]
	Identificando la linea proiettiva complessa con la sfera di Riemann $S^{2}$
	possiamo esprimere ogni punto dell'emisfero nord (interno di $S^{1}$)
	come $[z,1]$ e ogni punto dell'emisfero sud (esterno di $S^{1}$) come
	$[1,z^{-1}]$.

	Questo ci dà le sezioni costanti
	\begin{align}
		[z,1] &\mapsto (z,1) \text{ su } D_{0} \\
		[1,z^{-1}] &\mapsto (1,z^{-1}) \text{ su } D_{\infty}
	\end{align}
	che danno banalizzazioni del fibrato sui singoli emisferi.

	Dato che per passare dall'emisfero sud all'emisfero nord basta moltiplicare per
	$z$, la funzione frizione è $f(z) = z$. (Se avessimo invertito gli emisferi,
	sarebbe stata $f(z) = z^{-1}$)
\end{ex}

\begin{nota}
	Funzioni frizione omotope danno fibrati isomorfi. Infatti
	un omotopia $S^{k-1}\times I \rightarrow \GL_{n}(\mathbb{R})$
	fa da funzione frizione per un fibrato vettoriale $E_{F}
	\rightarrow S^{k} \times I $ che restringe ai due fibrati agli estremi,
	che sono isomorfi per la proposizione precedenti.
\end{nota}

\begin{prop}
	C'è una corrispondenza biunivoca
	\begin{align}
		[S^{k-1},\GL_{n}(\mathbb{C})] &\rightarrow
		\Vect^{n}_{\mathbb{C}}(S^{k})\\
		f &\mapsto E_{f}.
	\end{align}
\end{prop}
\begin{proof}
	Costruiamo un'inversa.

	Dato un fibrato su $S^{k}$ le sue restrizioni agli emisferi
	sono banali perché questi sono contraibili. Siano $h_{\pm}$
	le banalizzazioni globali.
	Allora $h_{+}h_{-}^{-1}$ dà una mappa $S^{k-1} \rightarrow \GL_{n}(\mathbb{C})$.

	La sua classe di omotopia è ben definita perché le diverse possibili
	scelte di $h_{\pm}$ differiscono di una mappa $D^{k}_{\pm} \rightarrow \GL_{n}(\mathbb{C})$
	che è omotopa a una mappa costante essendo gli emisferi contraibili.

	Lemmino: $\GL_{n}(\mathbb{C})$ è connesso per archi perché ogni
	matrice può essere diagonalizzata lungo un cammino in $\GL_{n}(\mathbb{C})$
	con mosse di Gauss graduali, e l'insieme delle matrici diagonali è connesso
	per archi essendo il prodotto di $n$ copie di $\mathbb{C}-\{0\}$.

	Le $h_{\pm}$ sono pertanto uniche salvo omotopia, e pertanto lo è anche la
	funzione frizione che inducono.
\end{proof}

\begin{ex}
	Ogni fibrato vettoriale complesso su $S^{1}$ è banale dato che $[S^{0},\GL_{n}(\mathbb{C})]$
	ha un solo elemento.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il fibrato tautologico $H \rightarrow \mathbb{C}P^{1}$ soddisfa $H^{2}+1 = 2H$,
	infatti basta confrontare le due funzioni frizione
	\[
		\left[z \mapsto
		\begin{pmatrix}
			z^{2} & 0 \\
			0 & 1
		\end{pmatrix}\right] =
		\left[z \mapsto
		\begin{pmatrix}
			z & 0 \\
			0 & z
		\end{pmatrix}\right]
	\]
	Più in generale $E_{fg} \oplus n \cong E_{f}\oplus E_{g}$.
\end{ex}

\begin{nota}
	Tutto questo non funziona con fibrati reali perché $\GL_{n}(\mathbb{R})$ ha due
	componenti disconnesse. Ciascuna è però connessa per archi per lo stesso
	ragionamento di $\GL_{n}(\mathbb{C})$, e la scelta di una di queste componenti
	corrisponde alla scelta di un'orientazione.
\end{nota}

\begin{deff}
	Un'orientazione su un fibrato vettoriale reale è una funzione che assegna un'orientazione
	a ogni fibra in modo che banalizzi come $\mathbb{R}^{n}$ con l'orientazione standard.

	Un'orientazione è determinata da una $n$-pla ordinata di sezioni locali indipendenti.
\end{deff}
\begin{nota}
	Non tutti i fibrati vettoriali ammettono un'orientazione. Ogni fibrato di linea
	orientabile su base paracompatta è banalizzato dalla sezione dritta, quindi
	per esempio il fibrato di M\"obius non è orientabile.
\end{nota}

\begin{prop}
	C'è una corrispondenza biunivoca $[S^{k-1}, \GL_{n}^{+}(\mathbb{R})] \rightarrow
	\Vect^{n}_{+}(S^{k})$.
\end{prop}

\begin{nota}
	Sia $\Vect_{0}^{n}(S^{k})$ l'insieme dei fibrati vettoriali sulla sfera
	con l'orientazione specificata nella fibra su un punto $x_{0}$ dell'equatore,
	modulo isomorfismi che preservano l'orientazione di questa fibra.

	Possiamo scegliere banalizzazioni $h_{\pm}$ sugli emisferi che portino
	questa orientazione nell'orientazione standard di $\mathbb{R}^{n}$, che
	sono come prima uniche salvo omotopia, così che abbiamo una
	corrispondenza biunivoca tra $\Vect_{0}^{n}(S^{k})$ e classi di omotopia
	di equatori di matrici in cui $x_{0}$ ha determinante positivo.
\end{nota}

\begin{nota}
	La mappa $\Vect_{0}^{n}(S^{k}) \rightarrow \Vect^{n}(S^{k})$ che dimentica
	l'orientazione in $x_{0}$ è suriettiva $2:1$ tranne sui fibrati che hanno
	un automorfismo che inverte l'orientazione in $x_{0}$, sui quali è
	anche iniettiva.
\end{nota}

\begin{ex}
	Se $k=1$ abbiamo solo due classi di omotopia, a seconda che
	la mappa mandi $\{-1\}$ in $\GL_{n}^{\pm}(\mathbb{R})$.

	I fibrati corrispondenti sono il fibrato banale e il fibrato di M\"obius se
	$n=1$, oppure la somma diretta del fibrato di M\"obius con un fibrato
	banale se $n>1$. Tutti questi fibrati hanno automorfismi che invertono
	l'orientazione delle fibre, e ciascun $\Vect^{n}(S^{1})$ ha due elementi,
	e il fibrato non banale tra questi non è mai orientabile.
\end{ex}

\begin{ex}
	Se $k>1$ l'equatore è connesso per archi, pertanto se a $x_{0}$ viene
	data una matrice positiva lo stesso vale per l'intero equatore.

	Questo implica che la dimenticanza $\Vect_{+}^{n}(S^{k}) \rightarrow
	\Vect_{0}^{n}(S^{k})$ è una corrispondenza biunivoca. Ogni fibrato
	vettoriale su $S^{k}$ è perciò orientabile con due orientazioni possibili,
	determinate dall'orientazione di una singola fibra.
\end{ex}

\begin{nota}
	Gram-Schmidt fornisce una retrazione per deformazione di $\GL_{n}(\mathbb{R})$
	su $\OO(n)$ e quindi di $\GL_{n}^{+}(\mathbb{R})$ su $\SO(n)$.

	Nel caso complesso $\GL_{n}(\mathbb{C})$ viene retratto a $\U(n)$.

	Le classi di omotopia di equatori di $\GL$ pertanto sono esattamente
	le classi di omotopia di equatori di $\SO(n)$ o $\U(n)$, che sono
	decisamente più piccoli.
\end{nota}
\begin{ex}
	Le classi di omotopia di mappe $S^{1} \rightarrow \SO(2) \cong S^{1}$ sono
	$\mathbb{Z}$, in quanto ogni tale mappa è omotopa a $z^{n}$.

	Ogni $z^{n}$ può usata come frizione per ingranare un fibrato $E_{n}$ su $S^{2}$,
	di cui sono esempi $E_{1} = H$, $E_{2} = TS^{2}$. Abbiamo perciò
	che $\Vect_{+}^{2}(S^{2}) \cong \mathbb{Z}$. Se permettiamo agli isomorfismi di
	invertire l'orientazione, i possibili fibrati sono $\mathbb{Z}_{\geq 0}$.

	Essendo anche $\U(1)\cong S^{1}$, anche $\Vect_{\mathbb{C}}^{2}(S^{2}) \cong \mathbb{Z}$.

	Poiché tutte le mappe $S^{k-1} \rightarrow S^{1}$ sono omotope per $k>2$, ogni
	fibrato vettoriale bidimensionale su $S^{k>2}$ è banale, così come
	ogni fibrato di linea complesso.
\end{ex}
\begin{ex}
	Sta di fatto che tutte le mappe $S^{2} \rightarrow \SO(n)$ oppure $S^{2} \rightarrow \U(n)$
	sono omotope, pertanto tutti i fibrati vettoriali su $S^{3}$ sono banali.
\end{ex}

\begin{nota}
	$\pi_{i}X$ è formato dalle classi di omotopia di mappe $S^{i} \rightarrow X$
	come spazi puntati. Per spazi connessi per archi la struttura di gruppo
	è indipendente dalla scelta dei punti base.

	I gruppi $[S^{i},\SO(n)]$ e $[S^{i},\U(n)]$ sono isomorfi a $\pi_{i}\SO(n)$
	e $\pi_{i}\U(n)$.

	La dimenticanza $\pi_{i}\SO(n) \rightarrow [S^{i}, \SO(n)]$ è suriettiva perché
	ogni mappa che non connette i due punti base ($s_{0}$ e $Id$) è omotopa a una che lo mette
	al posto giusto. \`E anche iniettiva perché ogni omotopia tra mappe buone che
	passa da mappe non buone può essere divisa per ogni tempo per la matrice $f_{t}(s_{0})$
	e resa un'omotopia buona per tutti i tempi.

	Gli stessi argomenti si applicano a $\U(n)$.
\end{nota}

\subsection{Il fibrato universale}

\begin{deff}
	Per dare una topologia alla grassmanniana in un modo diverso, passiamo dalla
	stiefeliana, l'insieme delle basi ortonormali di $n$ elementi in $\mathbb{R}^{k}$,
	che è un sottospazio chiuso del prodotto di $n$ copie di $S^{k-1}$, che è compatto,
	quindi è compatta. Diamo alla grassmanniana la topologia quoziente data dall'associazione
	di una base all sottospazio che genera. In questo modo anche $G_{n}(\mathbb{R}^{k})$ è
	compatto.
\end{deff}

\begin{deff}
	Diamo a $G_{n}(\mathbb{R}^{\infty}) = \bigcup_{k} G_{n}(\mathbb{R}^{k})$ la topologia
	debole per cui un sottoinsieme è aperto se interseca ogni $G_{n}(\mathbb{R}^{k})$ in
	un aperto.
\end{deff}

\begin{lem}
	$E_{n} (\mathbb{R}^{k}) = \{(V, v) \in G_{n}(\mathbb{R}^{k})\times \mathbb{R}^{k}
	\, | \, v \in V\} \rightarrow G_{n}(\mathbb{R}^{k})$ è un fibrato vettoriale
	per $k$ finito e infinito.
\end{lem}
\begin{proof}
	Cominciamo dal caso finito.

	Per ogni punto $V \in G_{n}(\mathbb{R}^{k})$ consideriamo la proiezione ortogonale
	$\pi_{V}: \mathbb{R}^{k} \rightarrow V$ e sia $U_{V}$ l'insieme dei sottospazi
	$V' \in G_{n}(\mathbb{R}^{k})$ che mantengono la loro dimensione dopo essere proiettati.

	Mostriamo che ogni $U_{V}$ è aperto, cioè che la sua preimmagine nella stiefeliana
	è aperta. Questa preimmagine consiste delle basi ortonormali che rimangono
	vettori indipendenti dopo la proiezione. Questa condizione equivale a richiedere
	che il determinante della matrice associata sia non nullo, che è una condizione aperta.

	Mostriamo che
	\begin{align}
		&h: p^{-1}(U_{V}) \rightarrow U_{V} \times V \cong U_{V} \times \mathbb{R}^{n}
		&h(V',v) = (V', \pi_{V}(v))
	\end{align}
	è una banalizzazione locale. \`E chiaro che $h$ è biunivoca e isomorfismo lineare
	nelle fibre, ma dobbiamo mostrare che $h$ e $h^{-1}$ sono continue.

	Per ogni $V'$ c'è una mappa lineare $L_{V'}$ tale che $L_{V'}\Big|_{V'} = \pi_{V}$ e
	$L_{V'}\Big|_{V^{\perp}} = Id$. La si può scrivere come $AB^{-1}$ dove $B$ è il cambio
	di base dalla base canonica all'unione di una base ortonormale di $V'$ e di una
	fissata di $V^{\perp}$, e $A$ proietta soltanto gli elementi associati a $V'$.
	Ma sia $A$ che $B$ dipendono continuamente dai vettori della base di $V'$, e
	quindi $L_{V'}$ è continuo e passa attraverso il quoziente a una mappa che dipende
	in modo continuo da $V'$. Ma
	\[
		h(V',v) = (V', \pi_{V}(v)) = (V',L_{V'}(v))
	\]
	pertanto sia $h$ che $h^{-1}$ sono continue.

	Nel caso infinito si prende $U_{V} = \bigcup_{k} U_{V}^{k}$. Le banalizzazioni
	locali danno una banalizzazione locale sull'unione, che è automaticamente
	continua dato che usiamo la topologia debole.
\end{proof}

\begin{teo}
	Per $X$ paracompatto $[X,G_{n}] \cong \Vect^{n}(X)$ mediante $[f] \mapsto f^{*}E_{n}$.

	Per questo $G_{n} = G_{n}(\mathbb{R}^{\infty})$ si dice spazio classificatore dei
	fibrati vettoriali $n$-dimensionali e $E_{n} = E_{n}(\mathbb{R}^{\infty})$ si dice
	fibrato universale.
\end{teo}

\begin{ex}
	Il fibrato cotangente alla sfera può essere ottenuto associando a ogni punto della
	sfera il suo sottospazio ortogonale in $\mathbb{R}^{n+1}$.
\end{ex}

\begin{proof}
	Un isomorfismo tra un fibrato su $X$ e un pullback del fibrato
	universale è catturato dalla mappa indotta $g: E \rightarrow
	\mathbb{R}^{\infty}$ lineare e iniettiva su ciascuna fibra. Infatti
	data una tale mappa $g$ possiamo definire una mappa $f: X \rightarrow
	G_{n}$ che associa ad un punto $x$ l'$n$-piano $g(p^{-1}(x))$.

	Per mostrare la suriettività della mappa $[X,G_{n}] \rightarrow
	\Vect^{n}(X)$ prendiamo un $p: E \rightarrow X$. Dato un ricoprimento
	aperto numerabile di $X$ tale che $E$ è banale su ciascuna pezza, e una
	partizione dell'unità subordinata con lo stesso indice, componiamo le
	banalizzazioni con la proiezione su $\mathbb{R}^{n}$ e moltiplichiamo
	per una $\varphi_{i}$ per ottenere una mappa $E \rightarrow
	\mathbb{R}^{n}$ nulla al di fuori di $p^{-1}(U_{i})$. Nell'intorno di
	ciascun punto di $x$ c'è solo un numero finito di queste funzioni non
	nulle, perciò le posso usare come coordinate di una mappa $E
	\rightarrow \mathbb{R}^{\infty}$ iniettiva su ciascuna fibra.

	Per l'iniettività, in presenza di funzioni che danno pullback isomorfi
	mostriamo che le funzioni $E \rightarrow \mathbb{R}^{\infty}$ che
	inducono sono omotope e che tutte le funzioni intermedie dell'omotopia
	sono lineari e iniettive sulle fibre. Questa omotopia si può
	trasportare alle funzioni di partenza: $f_{t} = g_{t}(p^{-1}(x))$.

	Definiamo l'omotopia iniettiva su $\mathbb{R}^{\infty}$ \[ D_{t}
	(x_{1},x_{2},\dots) =
	(1-t)(x_{1},x_{2},\dots)+t(x_{1},0,x_{2},0,\dots)\] e l'analoga $P_{t}$
	per gli indici pari. Allora \[ (1-t) D_{t} \circ g_{0} + t P_{t} \circ
	g_{1} \] è un'omotopia tra $g_{0}$ e $g_{1}$.
\end{proof}

\begin{nota}
	Questo teorema permette di tradurre affermazioni generali al caso
	speciale del fibrato universale. Per esempio diventa ovvio che i
	fibrati vettoriali su base paracompatta ammettono prodotti interni, in
	quanto $E_{n}$ ammette il prodotto interno canonico su ciascun
	sottospazio, che induce un prodotto interno su ogni suo pullback.
\end{nota}

\begin{nota}
	Il teorema si traduce perfettamente al caso complesso e nel caso reale
	orientato.
\end{nota}

\begin{nota}
	$G_{n}^{+} = G_{n}^{+}(\mathbb{R}^{\infty})$, la grassmanniana dei
	sottospazi orientati, è il rivestimento universale (2:1) di $G_{n}$.
	Entrambi infatti sono connessi per archi dato che $\Vect^{n}_{(+)({x})}$
	ha un singolo punto, e $G_{n}^{+}$ è semplicemente connesso
	a causa della banalità di $\Vect^{n}_{+}(S^{1})$.

	Un fibrato è orientabile se e solo se la mappa che lo classifica
	$X \rightarrow G_{n}$ induce una mappa $X \rightarrow G_{n}^{+}$.
\end{nota}

\section{Gruppi di Lie}

\subsection{Gruppi, sottogruppi, esponenziale}

\begin{deff}
	Un gruppo di Lie è una varietà liscia che è anche un gruppo
	con moltiplicazione e inversioni che sono mappe lisce.
\end{deff}

\begin{es}
	Le traslazioni $\ell_{a}(x) = ax$ sono diffeomorfismi.
\end{es}

\begin{deff}
	Un'omomorfismo di gruppi di Lie è un omomorfismo liscio.
\end{deff}

\begin{ex}
	$\GL(n,\mathbb{R})$ è un gruppo di Lie.
\end{ex}
\begin{ex}
	$\SL(n,\mathbb{R})$ è un gruppo di Lie perché la restrizione
	a una sottovarietà regolare della varietà di arrivo di una
	mappa liscia è liscia.

	Allo stesso modo $\SL(n,\mathbb{C})$.
\end{ex}

\begin{ex}
	Il gruppo ortogonale, già fatto per fortuna.
\end{ex}

\begin{deff}
	Un sottogruppo di Lie di un gruppo di Lie è un sottogruppo
	che è una sottovarietà (livello 2) e le sue operazioni sono
	lisce
\end{deff}
\begin{nota}
	L'ultima richiesta è necessaria perché non abbiamo richiesto
	che il sottogruppo fosse una sottovarietà regolare (livello 3).
\end{nota}
\begin{ex}
	I nodi sul toro, già fatti per fortuna.
\end{ex}

\begin{es}
	Confronta la topologia indotta sul nodo irrazionale intorno
	al toro dalla corrispondenza con una retta con la topologia
	quoziente.
\end{es}
\begin{prop}
	Un sottogruppo che è una varietà regolare è un sottogruppo di Lie,
	in questo caso detto anche sottogruppo di Lie incorporato.
\end{prop}
\begin{ex}
	$\SL$ e $O$ sono sottogruppi di Lie incorporati.
\end{ex}
\begin{teo}
	Un sottogruppo chiuso di un gruppo di Lie è un sottogruppo di Lie
	incorporato.
\end{teo}
\begin{ex}
	I nodi irrazionali nel toro non sono chiusi.
\end{ex}
\begin{ex}
	$\SL$ e $O$ sono chiusi perché zeri di polinomi.
\end{ex}

\begin{deff}
	L'esponenziale di una matrice si definisce per serie di potenze.
\end{deff}

\begin{prop}
	$\Mat(n,\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{n^{2}}$ con la norma di Frobenius
	è un'algebra di pre-Banach, cioè vale la disuguaglianza di
	Cauchy-Schwartz.
\end{prop}
\begin{proof}
	Elemento per elemento:
	\[
		(XY)^{2}_{ij} = \left( \sum_{k} x_{ik}y_{kj} \right)
		\leq \left( \sum_{k} x_{ik}^{2} \right) +
		\left( \sum_{k} y_{kj}^{2} \right)  = a_{i}b_{j}
	\]
	dove $a_{i} = \sum_{k} x_{ik}^{2}$ e $b_{j} = \sum_{k} y_{kj}^{2}$.
	Abbiamo allora
	\[ \norm{XY}^{2} = \sum_{i,j} (XY)^{2}_{ij} \leq \sum_{i,j}
	a_{i}b_{j} =
	\left( \sum_{i} a_{i} \right)
	\left( \sum_{j} b_{j} \right)
	= \norm{X}^{2}\norm{Y}^{2}\]
\end{proof}

\begin{prop}
	In un algebra di pre-Banach la moltiplicazione per scalare di punti
	o successioni è continua.
\end{prop}

\begin{nota}
	$\mathbb{R}^{n^{2}}$ è in realtà di Banach, quindi $\Mat$ è un'algebra
	di Banach, pertanto l'esponenziale di una matrice è ben definito
	in quanto la serie converge assolutamente per qualsiasi matrice.
\end{nota}

\begin{es}
	Se $[A,B] = 0$ allora $e^{A+B} = e^{A}e^{B}$.
\end{es}

\begin{prop}
	$\frac{d}{dt} e^{tX} = X e^{tX} = e^{tX}X$
\end{prop}
\begin{proof}
	Scrivi la serie per ogni elemento e differenzia.
\end{proof}
\begin{nota}
	Tutto funziona anche nel caso complesso usando la norma hermitiana.
\end{nota}

\begin{prop}
	$\dett e^{X} = e^{\tr X}$
\end{prop}
\begin{proof}
	Portiamo una matrice in forma triangolare superiore, il che
	lascia invariati $\tr$ e $\dett$, e usiamo il fatto che
	la diagonale di una potenza di una matrice triangolare superiore
	è la potenza della diagonale, così che questo si applica anche
	all'esponenziale.
\end{proof}

\begin{cor}
	$e^{X}$ non è mai singolare perché il suo determinante non è mai nullo.
\end{cor}
\begin{ex}
	$c(t) = A e^{tX}$ è la classica curva che parte da $A$ con velocità $X$.
\end{ex}

\begin{prop}
	$d\dett_{I}(X) = \tr(X)$
\end{prop}

\begin{proof}
	Usiamo una curva che parte da $I$ con velocità $X$:
	\[ d\dett_{I}(X) = \tr_{I} \frac{d}{dt}\dett(e^{tX})\Big|_{t=0}
	= \frac{d}{dt} e^{t \tr X} \Big|_{t=0}
	= (\tr X)e^{t\tr X}\Big|_{t = 0} = \tr X\]
\end{proof}

\begin{es}
	Se $s_{m}$ è la somma parziale di $e^{X}$ allora
	\[
		\norm{s_{\ell}-s_{m} \leq \sum_{m+1}^{\ell}
			\frac{\norm{X}^{k}}{k!}}
	\]
	quindi $s_{m}$ è di Cauchy.
\end{es}

\begin{es}
	La regola di Leibniz vale per le matrici.
\end{es}

\begin{es}
	La componente connessa dell'identità di un gruppo di Lie:
	\begin{itemize}
		\item è chiusa rispetto a moltiplicazione
			e inversione.
		\item è aperta
		\item è un gruppo di Lie a sua volta
	\end{itemize}
\end{es}

\begin{es}
	Ogni sottogruppo aperto di un gruppo di Lie connesso è
	automaticamente uguale all'intero gruppo.
\end{es}

\begin{es}
	Il differenziale della moltiplicazione $\mu: G \times G \rightarrow G$ è
	\[ d\mu_{a,b} (X_{a},X_{b}) =
	dr_{b} (X_{a}) + d\ell_{a} (Y_{b})\]
\end{es}

\begin{es}
	Il differenziale dell'inversione $\iota: G \rightarrow G$ è
	\[ d\iota_{a}(Y_{a}) = -dr_{a^{-1}} d \ell_{a^{-1}} Y_{a} \]
\end{es}

\begin{es}
	$d\dett_{A}(AX) = (\dett A) \tr X$
\end{es}

\begin{es}
	$1$ è un valore regolare del determinante, il che mostra
	velocemente che $\SL$ è una sottovarietà regolare di $\GL$.
\end{es}

\begin{es}
	Dato $r \in \mathbb{R}^{\times}$ l'assegnazione $ M_{r} = \diag(r,1,\dots,1)$
	induce il diffeomorfismo
	\begin{align}
		\GL(n,\mathbb{R}) &\rightarrow \SL(n,\mathbb{R})
		\times R^{\times}  \\
		A  & \mapsto \left( AM_{1/\det A}, \det A \right)
	\end{align}

	$\GL(2)$ e $\SL(2) \times \mathbb{R}$ non sono isomorfi come gruppi perché
	hanno centri diversi, mentre $\GL(3) \cong \SL(3) \times \mathbb{R}$
	con l'isomorfismo
	\[ A \mapsto \left( (\det A)^{1/3} A, \det A \right) \]

	Questo si generalizza a tutte le dimensioni pari e dispari.
\end{es}

\begin{es}
	$\OO$ è chiuso e limitato in $\Mat$ e pertanto compatto.
\end{es}

\begin{es}
	$\SO(2) \cong S^{1}$.
\end{es}

\begin{es}
	Il gruppo unitario $\U(n)$ è una sottovarietà regolare di $GL(n,\mathbb{C})$.
\end{es}

\begin{es}
	Ogni matrice di $\SU(2)$ ha la forma
	\[ \begin{pmatrix}
		a & -\bar{b}\\
		b & \bar{a}
	\end{pmatrix} \]
	con $|a|^{2}+ |b|^{2} = 1$, pertanto è $S^{3} \in \mathbb{C}^{2}$.
\end{es}

\begin{es}
	Calcola
	\[ e^{\begin{pmatrix}
		0 & 1 \\ 1 & 0
	\end{pmatrix}}\]
	coglione.
\end{es}

\begin{es}
	Il gruppo simplettico è
	\[ \SP (n) = \{A \in \GL(n,\mathbb{H}) \, | \,
	\bar{A} ^{T} A = I\}\]

	dove $\bar{A}$ è il coniugato quaternionico.

	\`E una sottovarietà regolare di $\GL(n,\mathbb{H})$.
\end{es}

\begin{es}
	Data $J$ la matrice
	\[ J = \begin{pmatrix}
		0 & I_{n} \\ -I_{n} & 0
	\end{pmatrix} \]
	il gruppo simplettico complesso la fissa:
	\[ \SP(2n,\mathbb{C}) \{A \in \GL (2n, \mathbb{C})
	\, | \, A^{T}J A = J\} \]

	\`E una sottovarietà regolare di $\GL(2n, \mathbb{C})$.
\end{es}

\subsection{Algebre e campi invarianti}

\begin{nota}
	I differenziali delle traslazioni, per esempio sinistre, collegano
	gli spazi tangenti ai vari punti di un gruppo di Lie:
	\[ d\ell_{g}: T_{e}G \rightarrow T_{g}G \]
\end{nota}

\begin{es}
	L'algebra di $\GL$ è $\Mat$ perché $\GL$ è denso credo boh.
\end{es}

\begin{es}
	L'algebra di $\SL$ sono le matrici a traccia nulla, perché
	se $c(0) = I$ e $\dot{c}(0) = X$ ha determinante unitario
	la sua velocità ha traccia nulla.
	\begin{align}
		\frac{d}{dt}\dett(c(t))\Big|_{t=0} &=
		d(\dett \circ c) \left( \frac{d}{dt}\Big|_{t=0} \right)\\
		&= d\dett_{I} \left( dc \frac{d}{dt}\Big|_{t=0} \right) \\
		&= d\dett_{I} (\dot{c}(0)) \\
		&= d\dett_{I} (X) \\
		&= \tr X \\
	\end{align}

\end{es}

\begin{es}
	L'algebra di $\OO$ l'abbiamo calcolata quando abbiamo dimostrato che è un gruppo,
	sono le matrici antisimmetriche.
\end{es}

\begin{deff}
	Un campo è invariante a sinistra se $d\ell_{g} = X$ cioè $(d\ell_{g})_{h}(X_{h}) = X_{gh}$.
\end{deff}

\begin{nota}
	Un campo invariante a sinistra è completamente determinato dal suo valore nell'identità:
	\[ X_{g} = (d\ell_{g})_{e}(X_{e}) \]
	e ogni vettore tangente all'identità può essere spinto in avanti
	ad un campo invariante a sinistra:
	\begin{align}
		\tilde{A}_{g} &= d\ell_{g} A \\
		(d\ell_{g})_{e}(\tilde{A_{h}}) &=
		(d\ell_{g})_{h}(d \ell_{h})_{e}A\\
		&= d(\ell_{gh})_{e}A \\
		&= \tilde{A}_{gh}
	\end{align}
	La corrispondenza è un isomorfismo lineare.
\end{nota}
\begin{es}
	$\frac{d}{dx}$ è l'unico campo invariante a sinistra sul gruppo additivo $\mathbb{R}$
	salvo multipli.
\end{es}

\begin{es}
	Se $B$ è una matrice tangente a $\GL$ nell'identità il suo pushforward in $g$ è
	$gB$.
\end{es}

\begin{prop}
	Ogni campo invariante a sinistra su un gruppo di Lie è $C^{\infty}$.
\end{prop}

\begin{proof}
	Mostriamo che $X$ è una derivazione in ogni punto. Lo rappresentiamo
	con una curva $gc$ dove $c$ è una curva che parte dall'identità
	con velocità $X_{e}$.
	\[ (Xf)(g) = X_{g}f = \frac{d}{dt}\Big|_{t=0} f(gc(t)) \]
	che è la derivata di composizione di funzioni $C^{\infty}$.
\end{proof}

\begin{prop}
	Il commutatore preserva l'invarianza per traslazioni.
\end{prop}

\begin{proof}
	Un campo invariante a sinistra è $\ell_{g}$-correlato a sé stesso per ogni
	$g$.
\end{proof}

\begin{prop}
	La parentesi di Lie di due matrici nell'algebra di $\GL$
	è il commutatore di matrici.
\end{prop}

\begin{proof}
	Stiamo dicendo che
	\[ c_{ij} = A\tilde{B}x_{ij} - B\tilde{A}x_{ij} \]

	Sappiamo che \[ \tilde{B}_{g}x_{ij} = (gB)_{ij} =
	\sum_{k} g_{ik} b_{kj} = \sum_{k} b_{kj} x_{ik}(g)\]

	così che
	\[ A\tilde{B}x_{ij} = \sum_{p,q} a_{pq} \frac{\partial}{\partial x_{pq}}
	\Big|_{I} \left( \sum_{k} b_{kj}x_{ik}\right)
	= \sum_{k} a_{ik} b_{kj} = (AB)_{ij}\]
\end{proof}

\begin{deff}
	Dato un omomorfismo di gruppi di Lie $F: H \rightarrow G$ il pushforward indotto
	è
	\[ F_{*} (\tilde{A}) = (dF_{e}A)^{\sim} \]
\end{deff}

\begin{prop}
	$X$ è $F$-correlato a $F_{*}X$.
\end{prop}
\begin{proof}
	Dobbiamo far vedere che
	\[ dF_{h}(X_{h}) = (F_{*}X)_{F(h)} \]
	Il lato sinistro è
	\[ dF_{h}(X_{h}) = dF_{h}(d\ell_{h})_{e}(X_{e}) =
	d(F\circ \ell_{h})_{e}(X_{e})\]
	mentre il lato destro è
	\[ (F_{*}X)_{F(h)} = (dF_{e}(X_{e}))^{\sim}_{F(h)}
	= d\ell_{F(h)} dF_{e} (X_{e})
	= d(\ell_{F(h)\circ F})_{e}(X_{e})\]
	ma essendo $F$ un omomorfismo di gruppi di Lie abbiamo
	\[ F\circ \ell_{h} = \ell_{F(h)} \circ F \]
\end{proof}

\begin{prop}
	Il differenziale di un omomorfismo di gruppi di Lie è un morfismo
	di algebre di Lie.
\end{prop}

\begin{proof}
	Quella roba lì sulle parentesi correlate.
\end{proof}

\begin{cor}
	La parentesi di Lie sull'algebra di un sottogruppo di Lie è la
	restrizione alla sua algebra della parentesi ambiente.
\end{cor}

\begin{teo}
	C'è corrispondenza biunivoca tra sottogruppi di Lie connessi
	di un gruppo di Lie e sottoalgebre di Lie della sua algebra.
\end{teo}

\begin{nota}
	L'algebra di $T^{2}$ è $\mathbb{R}^{2}$ e le sue sottoalgebre
	sono le rette che passano per l'origine, ciascuna delle quali
	individua quindi un sottogruppo di Lie del toro. Se avessimo
	richiesto che un sottogruppo di Lie fosse una sottovarietà
	regolare, avremmo rotto la corrispondenza, in quanto le
	rette di pendenza irrazione esponenziano a nodi densi del toro.
\end{nota}

\begin{es}
	$\mathfrak{u}$ è formata dalle matrici antihermitiane.
\end{es}

\begin{es}
	$\mathfrak{sp}$ è formata dalle matrici quaterno-antihermitiane.
\end{es}

\begin{es}
	$\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{C})$ è formata dalle matrici
	per cui $JX$ è simmetrica.
\end{es}

\begin{es}
	Trovare i campi invarianti a sinistra su $\mathbb{R}^{n}$.
\end{es}

\begin{es}
	Trovare i campi invarianti a sinistra su $S^{1}$.
\end{es}

\begin{es}
	La curva integrale del campo invariante a sinistra generato da $A\in \mathfrak{gl}$
	è $c(t) = e^{tA}$. Trovare la curva integrale che parte da $g\in \GL$.
\end{es}

\begin{es}
	Ogni gruppo di Lie è parallelizzabile.
\end{es}

\begin{es}
	La rappresentazione aggiunta di un gruppo di Lie associa ad un elemento
	il differenziale del coniugio mediante esso. \`E una mappa liscia.
\end{es}

\begin{es}
	$\mathfrak{o}(3) \cong (\mathbb{R}^{3},\times)$.
\end{es}





































\end{document}
