% xelatex bruhhh

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\numberwithin{equation}{subsection}

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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{teo}{Teorema}[section]
\newtheorem{prop}{Proposizione}[section]
\newtheorem*{deff}{Definizione}
\newtheorem{es}{Esercizio}[section]
\newtheorem{cor}{Corollario}[section]
\newtheorem*{ex}{Esempio}
\newtheorem*{nota}{Nota}
\newtheorem{lem}{Lemma}[section]
\renewcommand*{\proofname}{Dimostrazione}

\begin{document}

\title{Appunti di Haardt}
\author{danivolo}
\date{}

\maketitle
\section*{Problemi}

\paragraph{Induzione magnetica}
\begin{itemize}
	\item  L'induzione generata da un magnete in moto relativo con un conduttore compie lavoro o no a seconda del sistema di riferimento.
\end{itemize}


\paragraph{Esperimento di Michelson-Morley }

\begin{itemize}
	\item (l'apparato si muove verso sinistra):
	\item Il raggio che attraversa il beam splitter ha velocità c+v andando, c-v tornando
	\item Il raggio che viene riflesso percorre un triangolo.
	\item I due tempi di percorrenza sono quindi dilatati dal moto dell'apparato in modo diverso
	\item Girando l'apparato di 90° si ottiene uno spostamento nelle frange di interferenza che però sperimentalmente non c'è.
\end{itemize}

\section*{Postulati}

\paragraph{Principi della relatività speciale}
\begin{enumerate}[(i)]
	\item Nessun esperimento può provare l'esistenza di una velocità assoluta
	\item La velocità assoluta è la stessa in ogni sistema di riferimento
\end{enumerate}

\paragraph{Sistema di riferimento inerziale}
\begin{enumerate}[(1)]
	\item La distanza tra due punti è indipendente dal tempo
	\item Gli orologi sono sincroni e corrono allo stesso rate
	\item La geometria è ad ogni tempo euclidea
\end{enumerate}

\paragraph{Relazioni fra assi in diversi frame}
\begin{itemize}
	\item L'asse temporale di O' visto da O coincide con la sua worldline.
	\item Seguire la riflessione di un fotone permette di ricostruire l'asse $x$.
\end{itemize}

\section*{Intervallo}

\paragraph{L'intervallo tra due eventi è invariante tra due sistemi di riferimenti}
\begin{itemize}
	\item sono infinitesimi dello stesso ordine
	\item quindi potrebbero al massimo differire di un fattore moltiplicativo
	\item che dipende solo dal modulo della velocità relativa, per omogeneità e isotropia dello spazio.
	\item Ma se considero le velocità relative tra tre sistemi vedo che ci dovrebbero essere termini che dipendono solo dal modulo uguali a termini che dipendono anche dalla direzione
	\item quindi l'unica soluzione è che questo fattore sia costante.
\end{itemize}

\paragraph{Un intervallo è spaziale se è positivo e viceversa}
\begin{itemize}
	\item Usando l'invarianza degli intervalli si può calcolare la dilatazione di un intervallo di tempo facendolo scorrere lungo l'iperbole.
	\item La dilatazione temporale è simmetrica: tutti i problemi nascono dal fatto che non esiste una simultaneità assoluta
	\item Il tempo proprio tra due eventi è il tempo misurato da un singolo orologio che passa tra due eventi, per il quale cioè l'intervallo non ha componente spaziale.
\end{itemize}

\section*{Trasformazioni di Lorenz}

\paragraph{Boost in una direzione}
\[
	\begin{pmatrix}
		\gamma & -\gamma v \\
		-\gamma v  & \gamma
	\end{pmatrix}
\]

\paragraph{Velocità relative}
\begin{itemize}
	\item io fermo che vedo un leone inseguire un'antilope tutto parallelo.
	\item Supponiamo che so $w'$ aka la velocità dell'antilope secondo il leone
	\item Per trovare $w$ basta differenziare la traformata di Lorenz inversa e usare che
		\[ \frac{dx'}{dt'} = w' \]
	\item Se l'antilope non si muove parallelamente al leone va bene lo stesso per la componente della sua velocità parallela
	\item La componente perpendicolare si fa lo stesso gioco
	\item Il risultato finale parla delle componenti della velocità vista da me in termini delle componenti della velocità viste dal leone
\end{itemize}

\paragraph{Angoli}
\begin{itemize}
	\item Facendo il rapporto fra le componenti nel mio sistema di riferimento ottengo la tangente dell'angolo che forma l'antilope nel mio rispetto a quello del leone
	\item Se metto $v = 1$ ottengo le formule per l'aberrazione della luce
	\item Se da queste ottengo il seno e il coseno posso considerare a cosa corrispondono per me gli angoli $\pm 90^{\degree}$ del leone
	\item Si trova che se il leone emette radiazione isotropicamente antilopi io le vedo inconate
\end{itemize}

\paragraph{Effetto doppler}
\begin{itemize}
	\item di base la frequenza vera si divide per $1-v$ incidente
	\item essendo una frequenza si contrae come una lunghezza di un fattore $\gamma$
\end{itemize}

\paragraph{Accelerazioni}
\begin{itemize}
	\item literalli differenzi le formule per la velocità e dividi per $dt$
	\item L'MCRF è il sistema di riferimento in cui, in quell'istante, la particella è ferma quindi $w' = 0$
	\item Una particella è uniformemente accelerata se lo è nell'MCRF
\end{itemize}

\section*{Paradossi}

\paragraph{Paradosso dei gemelli}
\begin{itemize}
	\item la simmetria si ha prima e dopo che il gemello in viaggio cambi direzione
	\item Cambiando direzione cambia l'evento simultaneo a lui sulla terra e passano istantaneamente altri 46 anni
	\item Il viaggiatore per tracciare l'età del gemello terrestre deve mandare copie di se stesso prima e dopo, e vedere alla fine di tutti i viaggi i diari di queste copie.
	\item Vedrebbe che l'ultimo di quelli dopo di lui ha registrato 2 anni sulla terra mentre il primo di quelli prima di lui ha registrato 48 anni.
	\item Questo non è un paradosso perché per queste sue copie è impossibile coprire tutto lo spazio tempo della terra.
\end{itemize}

\paragraph{Paradosso del garage}
\begin{itemize}
	\item bus di 20$m$ a 0.8$c$ in box di 15$m$
	\item Nel sistema del portinaio prima il bus entra e poi si schianta
	\item Nel sistema del conducente prima si schianta e poi entra per bene
	\item L'intervallo fra i due eventi è lo stesso ed è di tipo spazio quindi i due eventi sono causalmente disconnessi e possono apparire in tutti e due gli ordini
	\item Morale: la lunghezza percepita contratta è la lunghezza massima che potrebbe avere l'autobus se si schiantasse.
\end{itemize}

\section*{Dinamica}

\paragraph{Quantità dinamiche}
\begin{itemize}
	\item il momento si dilata essendo duale alla lunghezza
	\item L'energia cinetica si ricava sapendo che la potenza è forza per velocità = $m(\gamma-1)$
	\item L'energia totale è $\gamma m$ dove m è l'energia di massa
	\item Moralmente il fattore $\gamma$ che dilata e contrae è l'energia di un corpo
	\item Da $E = \gamma m$ e $p = m\gamma v$ salta fuori che $E^2 = p^2+m^2$ che per i fotoni vuol dire $E = p$
\end{itemize}

\paragraph{Campo elettromagnetico}
\begin{itemize}
	\item l'energia totale di una particella carica è $m\gamma + e \phi$
	\item Una particella in un campo elettrico costante si muove di moto uniformemente accelerato
	\item In un campo magnetico costante e uniforme la frequenza di ciclotrone viene contratta di un fattore $\gamma$
\end{itemize}

\paragraph{Potenziale centrale}
\begin{itemize}
	\item il momento angolare si conserva per simmetria quindi il moto è in un piano
	\item energia: $\gamma m + V$
	\item $v = \dot{\rho} \rho + \rho \dot{\varphi} \varphi$
	\item $v^2 = \dot{\varphi}^2 (\rho^2+R^2) $ dove $ R = d\rho/d\varphi$
	\item $L =  m\rho^2 \dot{\varphi}\gamma$
	\item sostituisci nell'energia $\gamma= \sqrt{1+\gamma^2 v^2}$
	\item sostituisci $\varphi$ con $L$
	\item esplicita $\frac{dr}{d\varphi}$
	\item sostituzione $u = 1/r$
	\item deriva in $d\varphi$
	\item si ottiene \[ \frac{d^{2}u}{d\varphi^{2}} + u = \alpha/L^2(E+\alpha u) \]
	\item sì roba insomma
\end{itemize}

\paragraph{Trasformazioni dei fattori gamma}
\begin{itemize}
	\item $\gamma_w' = (1-wv) \gamma_v \gamma_w$
	\item da questo si trova che $p_{x}$ ed $E$ si trasformano come $x$ e $t$ mediante traformazioni di Lorenz
	\item Salta fuori che la massa a riposo è un invariante relativistico
	\item Si può calcolare le trasformazioni della forza come derivata del momento
\end{itemize}

\section*{Matematica}

\paragraph{Momento}
\begin{itemize}
	\item La 4-velocità di una particella è il vettore base $e_{0}'$ nell'MCRF
	\item Il 4-momento $p = mu$
	\item Conservazione del 4-momenti: si inserisce anche la massa a riposo delle particelle
	\item Il sistema del centro del momento è il sistema in cui il 4-momento ha coordinate $(E,0,0,0)$
\end{itemize}

\paragraph{Grandezza}
\begin{itemize}
	\item i vettori nulli hanno norma 0
	\item il vettore velocità ha norma -1 in quanto nell'MCRF è $e_{0}'$
	\item Ogni particella di massa nulla ha quadrimomento nullo
\end{itemize}

\paragraph{Tempo proprio}
\begin{itemize}
	\item Il tempo proprio $d\tau^{2} = -dx^{2}$
	\item $dx/d\tau$ è tangente alla WL essendo un multiplo di $dx$ e ha modulo -1
	\item quindi è la 4-velocità
	\item la 4-accelerazione è $du/d\tau$ ed è sempre ortogonale a u
	\item Nell'MCRF $p'\cdot e_{0}' = E'$ e il prodotto è invariante
	\item quindi per chiunque $E = p\cdot u$
\end{itemize}

\paragraph{Energia di un fotone cambiando sistema di riferimento}
$h \nu' = E' = \gamma h \nu (1-v)$ che è l'effetto doppler

\paragraph{Scattering compton}
\begin{itemize}
	\item urto elastico tra fotone di energia $E_{0}$ ed elettrone a riposo
	\item $p_{\gamma0} + p_{e0} = p_{\gamma1} + p_{e1} $
	\item i momenti sono
		\begin{align*}
			p_{\gamma_0} &= (E_{0}, E_{0}\mathbf{n}) \\
			p_{\gamma_1} &= (E_{1}, E_{1}\mathbf{n}) \\
			p_{e0} &=  (m, 0)\\
			p_{e1}&=  (m\gamma, \mathbf{P})
		\end{align*}
	\item facendo la grandezza si ottiene
		\[ E_{1} = \frac{E_{0}}{1+\frac{E_{0}}{m}(1-\cos\theta)} \]
	\item l'ha fatto lo scattering compton con elettrone in movimento?
\end{itemize}

\paragraph{Polvere}
\begin{itemize}
	\item Insieme di particelle a riposo in qualche sistema inerziale
	\item La densità numerica $n$ nell'MCRF diventa $\gamma n$ per contrazione di una sola lunghezza
	\item Il flusso $nv$ diventa $\gamma nv$, ovvero il 4-flusso è $N = nu$
	\item La sua lunghezza è $n$ a meno di qualche segno
	\item La densità delle particelle pertanto può essere vista come il flusso attraverso un segmento unitario di tempo
	\item Se le particelle hanno massa a riposo $m$ la densità di energia è $\rho = En = mn$
	\item Pertanto $\rho' = \gamma^{2} \rho$ non è un tensore di rango 1
\end{itemize}

\paragraph{Tensore energia-momento}
\begin{itemize}
	\item La densità di energia è una componente del tensore $T^{\alpha\beta}$ le cui componenti sono il flusso del momento
		$\alpha$ attraverso la superficie unitaria perpendicolare a $x^{\beta}$
		\begin{itemize}
			\item $T^{00}$ è il flusso di energia perpendicolare al tempo aka la densità di energia
			\item $T^{0i}$ è il flusso di energia perpendicolare a $x^{i}$
			\item $T^{i0}$ è il flusso del momento $i$ perpendicolare al tempo, aka densità di momento
			\item $T^{ij}$ è il flusso del momento $i$ perpendicolare a $x^{j}$
		\end{itemize}
	\item \`E simmetrico perché
		\begin{align*}
			\text{ flusso di energia } &= \text{ densità di energia per velocità } \\
			&= \text{ densità di massa per velocità} \\
			&= \text{ densità di momento}
		\end{align*}
	\item Per la polvere nell'MCRF l'unica componente non nulla è $T^{00} = \rho = mn$
	\item In generale $T^{\alpha\beta} = \rho u^{\alpha}u^{\beta}$
	\item Trasforma come
		\begin{align*}
			T^{00} &= \rho \gamma^{2} \\
			T^{0i} &= \rho \gamma^{2}v^{i} \\
			T^{i0} &= \rho \gamma^{2}v^{i} \\
			T^{ij} &= \rho \gamma^{2}v^{i}v^{j} \\
		\end{align*}
	\item Per un fluido con moti random bisogna tener conto di pressione, viscosità, conduzione di calore, ma $T$ è sempre simmetrico
	\item Quando viscosità e conduzione sono trascurabili $T = \diag(\rho,p_{x},p_{y},p_{z})$
	\item La conservazione dell'energia e del momento si può scrivere come
		\[ T^{\alpha\beta}_{,\beta} = 0 \]
\end{itemize}

\section{Elettrodinamica}

\paragraph{Corrente}
\begin{itemize}
	\item Il 4-volume $d\mathbf{V} = dx^{0}dx^{1}dx^{2}dx^{3}$ è invariante perché la dilatazione cancella la contrazione
	\item Il 3-volume $dV$ trasforma come $x$
	\item La carica è invariante
	\item Quindi la densità di carica $\rho = de/dV$ trasforma come $t$
	\item Definiamo $J^{\mu} = (\rho, J^{x}, J^{y}, J^{z})$ 4-corrente
	\item Abbiamo l'equazione di continuità
		\[ J^{\mu}_{,\mu} =0 \]
\end{itemize}

\paragraph{Equazione delle onde}
\begin{itemize}
	\item Definiamo il 4-potenziale $(\phi, A^{x}, A^{y}, A^{z})$
	\item Il gauge di Lorenz è
		\[ A^{\alpha}_{,\alpha} \]
	\item Le equazioni di Maxwell nel gauge di Lorentz sono
		\[ A^{\beta,\alpha}_{,\alpha} = -4\pi J^{\beta} \]
\end{itemize}

\paragraph{Tensore elettromagnetico}
\begin{itemize}
	\item Le componenti dei campi stanno nella curvatura della connessione $A_{mu}$
		\[ F_{\mu\nu} = A_{\nu,\mu} - A_{\mu,\nu} \]
	\item Le sue componenti in forma covariante sono
		\[
		\begin{pmatrix}
			0 & -E_{x} & -E_{y} & -E_{z} \\
			E_{x} & 0 & B_{z} & -B_{y} \\
			E_{y} & -B_{z} & 0 & B_{x} \\
			E_{z} & B_{y} & -B_{x} & 0
		\end{pmatrix}
		\]
	\item Le equazioni di Maxwell in cui non compaiono sorgenti, cioè
		\begin{align}
			\nabla \cdot B &= 0 \\
			\nabla \times E + \frac{\partial B}{\partial t} &= 0
		\end{align}
		possono essere riscritte in una specie di identità di Bianchi
		\[ F_{\mu\nu,\sigma} + F_{\sigma\mu,\nu}+ F_{\nu\sigma,\mu} = 0\]
\end{itemize}

\paragraph{Trasformazioni dei campi}
\begin{itemize}
	\item Il tensore elettromagnetico è 2-covariante e trasforma secondo
		\[ F_{\mu'\nu'} = \Lambda_{\mu'}^{\alpha}\Lambda_{\nu'}^{\beta} F_{\alpha\beta} \]
	\item La diagonale è nulla in ogni sistema di riferimento
	\item Le componenti parallele dei campi alla velocità sono invarianti
	\item Le componenti perpendicolari dei campi vanno come
		\begin{align*}
			E_{y'} &= \gamma E_{y} - \gamma v B_{z} \\
			E_{z'} &= \gamma E_{z} + \gamma v B_{y} \\
			B_{y'} &= \gamma B_{y} + \gamma v E_{z} \\
			B_{z'} &= \gamma B_{z} - \gamma v E_{y} \\
		\end{align*}
	\item Vettorialmente
		\begin{align*}
			E_{\perp}' = \gamma(E_{\perp} + v \times B)
			B_{\perp}' = \gamma(B_{\perp} - v \times E)
		\end{align*}
\end{itemize}

\paragraph{Scalari invarianti}
\begin{itemize}
	\item $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = 2(B^{2}-E^{2}) $
	\item $\det F = (E\cdot B)^{2}$
\end{itemize}

\paragraph{Campo di una carica in moto uniforme}
\begin{itemize}
	\item Nel sistema della carica $q$ il campo $E$ vale
		\begin{align*}
			E_{x}' &= \frac{qx'}{r'^{3}} \\
			E_{y}' &= \frac{qy'}{r'^{3}} \\
			E_{z}' &= \frac{qz'}{r'^{3}} \\
			B_{x}' &= B_{y}' = B_{z}' = 0
		\end{align*}
	\item Nel sistema dell'osservatore questo diventa
		\begin{align*}
			E_{x}' &= E_{x} = \frac{qx'}{r'^{3}} \\
			E_{y}' &= \frac{\gamma qy'}{r'^{3}} \\
			E_{z}' &= \frac{\gamma qz'}{r'^{3}} \\
			B_{x}' &= B_{x} = 0 \\
			B_{y}' &= -\frac{\gamma v qz'}{r'^{3}} \\
			B_{z}' &= \frac{\gamma v qy'}{r'^{3}}
		\end{align*}
	\item Usando le trasformate di Lorenz
		\begin{align*}
			E_{x}' &= = \frac{\gamma q(x-vt)}{r'^{3}} \\
			E_{y}' &= \frac{\gamma qy}{r^{3}} \\
			E_{z}' &= \frac{\gamma qz}{r^{3}} \\
			B_{x}' &= 0 \\
			B_{y}' &= -\frac{\gamma v qz}{r^{3}} \\
			B_{z}' &= \frac{\gamma v qy}{r^{3}}
		\end{align*}
		con $r = \sqrt{\gamma^{2}(x-vt)^{2}+y^{2}+z^{2}}$
	\item Questi sono i campi di velocità dei potenziali di Leinard-Wiechart.
	\item Se vogliamo il campo in $P=(0,p,0)$ della particella che si muove
		di moto uniforme lungo l'asse $x$
		\begin{align*}
			E_{x}' &= -\frac{\gamma vt q}{(\gamma^{2}v^{2}t^{2}+b^{2})^{3/2}} \\
			E_{y}' &= \frac{\gamma qb}{(\gamma^{2}v^{2}t^{2}+b^{2})} \\
			E_{z}' &= 0 \\
			B_{x}' &= 0 \\
			B_{y}' &= 0 \\
			B_{z}' &= \frac{\gamma v qb}{(\gamma^{2}v^{2}t^{2}+b^{2})}
		\end{align*}
	\item $B_{z}(P) = vE_{y}(P)$
	\item Il campo elettrico si trova nel piano comune ed è diretto
		lungo la congiungente fra la carica e il punto
	\item Il campo magnetico è perpendicolare al campo elettrico
\end{itemize}

\paragraph{Spettro del campo di radiazione}
\begin{itemize}
	\item Usando che la componente $x$ del campo elettrico è trascurabile:
		\begin{align*}
			\hat{E}(\omega) \approx
			\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} E_{y}(t)e^{i\omega t}dt
			&= \frac{q\gamma b}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}
			(\gamma^{2}v^{2}t^{2}+b^{2})^{-\frac{3}{2}} e^{i\omega t} dt\\
			&= \frac{q\omega}{\pi \gamma v^{2}} K_{1}
			\left( \frac{b\omega}{\gamma v} \right)
		\end{align*}
		usando la funzione di Bessel modificata del primo ordine.
	\item Lo spttro dell'impulso è quindi
		\[ \frac{dW}{dAdt} = |\hat{E}(\omega)|^{2} =
			\frac{q^{2}\omega^{2}}{\pi^{2} \gamma^{2} v^{4}} K^{2}_{1}
			\left( \frac{b\omega}{\gamma v} \right)
		\]
\end{itemize}

\paragraph{4-forza di Lorenz}
\begin{itemize}
	\item $\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + v\times \mathbf{B})$ diventa $F^{\mu} = q F^{mu}_{nu} u^{nu}$
	\item Le equazioni del moto diventano
		\begin{align*}
			\frac{dW}{dt} &= q \mathbf{E}\cdot \mathbf{v} \\
			\frac{dp_{i}}{dt} &= q (\mathbf{E} + \mathbf{v}\times \mathbf{B})_{i}
		\end{align*}
	\item Sono sempre le stesse, e questo ci dice che la forza di Lorenz è già relativisticamente invariante
\end{itemize}

\section{Radiazione da cariche relativistiche}
\paragraph{Potenza totale}
\begin{itemize}
	\item Carica in moto lungo $x$ che emette radiazione isotropicamente
	\item Nell'MCRF il 3-momento totale della radiazione è nullo
	\item Il 4-momento totale è costituito quindi interamente dall'energia
	\item L'energia è la componente temporale del 4-momento e quindi cambiando sistema
		di riferimento si dilata
	\item Ma il tempo si dilata dello stesso fattore, quindi la potenza è invariante
	\item $u \cdot a = -u^{0}a^{0}+\mathbf{u}\cdot \mathbf{a} 0$,
	\item ma nell'MCRF $\mathbf{a} = 0$ e quindi $a^{0}= 0$ in ogni sistema di riferimento
	\item Quindi la grandezza della 4-accelerazione è la norma della 3-accelerazione
	\item La formula di Larmor
		\[ P = \frac{2q^{2}}{3}a\cdot a = \frac{2q^{2}}{3} \gamma^{4}
		(\gamma^{2}a_{\parallel}^{2}+a_{\perp}^{2})\]
	\item Anche se c'è davanti un fattore $\gamma^{2}$ all'accelerazione parallela bisogna
		tenere conto che di solito le particelle si accelerano in moto circolare, quindi
		vince il contributo perpendicolare.
\end{itemize}

\paragraph{Distribuzione angolare}
\begin{itemize}
	\item Radiazione emessa in un angolo solido $d\Omega' = d\phi' d\mu'$ con
		$\mu' = \cos\theta' $con $\theta'$ angolo rispetto all'asse $x$.
	\item Il momento totale in un andolo solito non è nullo e trasforma come
		\[ p^{0} = \gamma p'^{0} + \gamma v p'^{1} \]
	\item Per un fotone $p'^{1} = p'^{0}\cos\theta = p'^{0} \mu'$ perciò
		\[ dW = \gamma(1+v\mu')dW' \]
	\item Trasformiamo $\mu'$ usando le leggi degli angoli, mentre $\phi=\phi'$ perché
		è perpendicolare al moto
		\begin{align*}
			d\mu &= \frac{d\mu'}{\gamma^{2}(1+v\mu')^{2}} \\
			d\phi &= \phi'
		\end{align*}
	\item Da cui
		\[ d\Omega = \frac{d\Omega'}{\gamma^{2}(1+v\mu')^{2}} \]
	\item L'energia per angolo solido è
		\[ \frac{dW}{d\Omega} = \gamma^{3} (1+v\mu')^{3} \frac{dW'}{d\Omega'} \]
\end{itemize}

\paragraph{Potenza}
\begin{itemize}
	\item Nell'MCRF $\mathcal{O}'$
		\[ P' = \frac{dW'}{dt'} \]
	\item Nel sistema $\mathcal{O}$ abbiamo due scelte possibili
		\begin{itemize}
			\item $dt = \gamma dt'$ che dà la potenza emessa
			\item $dt_{A} = \gamma(1-v\mu)dt$ che tiene conto dell'effetto
				Doppler e dà la potenza ricevuta
		\end{itemize}
	\item Poiché conta solo la potenza misurata da qualcuno consideriamo il
		secondo modo:
		\[ \frac{dP_{r}}{d\Omega} = \gamma^{4}(1+v\mu')^{4}
		\frac{dP'}{d\Omega'} = \frac{1}{\gamma^{4}(1-v\mu)^{4}}
		\frac{dP'}{d\Omega'}\]
	\item Al secondo ordine $\mu \approx 1-\theta^{2}$ quindi
		\[ v \approx 1-\frac{1}{2\gamma^{2}} \]
		e
		\[ \frac{dP_{r}}{d\Omega}
			\approx \left( \frac{2\gamma}{1+\gamma^{2}\theta^{2}} \right)^{4}
			\frac{dP'}{d\Omega'}\]
\end{itemize}

% \paragraph{Carica accelerata}
% \begin{itemize}
% 	\item Usiamo l'approssimazione di dipolo nel sistema della carica:
% 		\[ \frac{dP'}{d\Omega'} = \frac{q^{2}a'^{2}}{4\pi}\sin^{2}\Theta' \]
% 		che trasformata diventa
% 		\[ \frac{dP}{d\Omega} = \frac{q^{2}}{4\pi}
% 		\frac{(\gamma^{2}a_{\parallel}^{2}+a_{\perp}^{2})}
% 		{(1-v\mu)^{4}}\sin^{2}\Theta' \]
% 	\item $\Theta'$ in $\mathcal{O}$:
% 		\begin{itemize}
% 			\item Se $\mathbf{a}\parallel v$ allora $\Theta' = \theta'$ e
% 				\[ \sin^{2}\Theta' = \frac{\sin^{2}\theta}{\gamma(1-v\mu)^{2}} \]
% 				e
% 		\[ \frac{dP}{d\Omega} = \frac{q^{2}}{4\pi}
% 		a_{\parallel}^{2}
% 				\frac{\sin^{2}}{(1-v\mu)^{6}}\]
% 			\item Se $\mathbf{a}\perp v$ $\cos \Theta' = \sin\theta' \cos\phi'$ e si trova
% 				\[  \]
% 		\end{itemize}

% \end{itemize}

\paragraph{Lagrangiana}
\begin{itemize}
	\item L'azione ha componente libera
		\[ -m \int_{a}^{b} \sqrt{1-\dot{x}^{2}}dt \]
		e di interazione
		\[ q\int_{a}^{b} dx^{\mu}A_{\mu}\]
	\item La lagrangiana è
		\[ -m \sqrt{1-\dot{x}^{2}} + q(A_{0}+ \dot{x}^{i}A_{i}) \]
	\item Le Eulero-Lagrange danno
		\[ m \frac{d^{2}x^{\mu}}{d\tau^{2}} = q \frac{dx^{\mu}}{d\tau}F_{\nu,\mu} \]
\end{itemize}





\end{document}
